拓扑空间连通子空间并集连通性证明的疑问

几个月前我证过这么一个结论：如果拓扑空间$X$里的两个连通子空间$A$和$B$满足$A \cap B \neq \emptyset$，那它们的并集$A \cup B$也是$X$的连通子空间。当时用的是反证法，思路大概是这样的：

假设$A \cup B$是不连通的，那根据定义，存在$A \cup B$的两个非空开子集$C$和$D$，满足$C \cap D = \emptyset$，且$C \cup D = A \cup B$。
因为$A \cap B \neq \emptyset$，所以肯定存在一个点$p$同时属于$A$和$B$，那$p$自然也在$A \cup B$里，也就是在$C \cup D$中。我当时不妨假设$p$属于$C$。

但现在我死活记不明白两点：一是为什么$A \cap C \neq \emptyset$；二是为什么$A$是连通的就能推出$A$完全包含在$C$里？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Chenoeh