迟到与早到场景下的准时通勤速度求解问题（基于UIL存档测试题）

这是一道来自UIL存档测试的经典行程问题，具体场景如下：

• 周五某人开车上班，速度为$x_1$ mph，结果迟到$y_1$分钟；
• 周六他换了个速度$x_2$ mph行驶，结果早到$y_2$分钟。

问题是：他需要保持多少速度才能刚好准时到达上班地点？

举个具体的测试例子：如果第一天以45mph行驶迟到16分钟，第二天以90mph行驶早到16分钟，那么准时到达的速度应该是多少？选项给出了四个：57.5mph、60mph、62.5mph、65mph。

先说说你之前思路的问题 #

你提到试过用平均速度公式（总距离/总时间），但因为只有相对时间信息，不知道具体路程和准时时间，所以拿不准方向；还尝试列过类似45x = -16和90x = 16的方程组，最后算速度平均值，但结果不对。

确实，这个思路有问题——速度和时间差不是直接的线性关系，不能简单把两个速度相加取平均。核心误区在于没抓住上班路程是固定不变的这个关键条件，这才是解题的突破口。

正确解题思路：利用固定路程列方程 #

我们可以通过设准时时间为变量，结合两天的路程相等来建立方程，一步步推导：

1. 统一单位与定义变量
   因为速度单位是mph（英里/小时），所以时间要转换成小时（题目里的分钟除以60）：

   • 设准时到达所需的时间为$t$小时
   • 上班的固定路程为$d$英里

2. 根据两天的行驶情况列路程方程

   • 周五迟到$y_1$分钟，实际用时为$t + \frac{y_1}{60}$小时，因此路程：$d = x_1 \times (t + \frac{y_1}{60})$
   • 周六早到$y_2$分钟，实际用时为$t - \frac{y_2}{60}$小时，因此路程：$d = x_2 \times (t - \frac{y_2}{60})$

3. 联立方程求解准时时间$t$
   因为两天的路程相等，所以两个式子联立：
   $$x_1(t + \frac{y_1}{60}) = x_2(t - \frac{y_2}{60})$$
   展开整理后解出$t$：
   $$x_1t + \frac{x_1y_1}{60} = x_2t - \frac{x_2y_2}{60}$$
   $$t(x_2 - x_1) = \frac{x_1y_1 + x_2y_2}{60}$$
   $$t = \frac{x_1y_1 + x_2y_2}{60(x_2 - x_1)}$$

4. 推导准时速度的通用公式
   把$t$代入任意一个路程公式求出$d$，再用$v = \frac{d}{t}$计算准时速度，化简后可以得到通用公式：
   $$v = \frac{x_1x_2(y_1 + y_2)}{x_1y_1 + x_2y_2}$$

   特别地，如果迟到和早到的时间相等（也就是$y_1=y_2$），公式可以进一步简化：
   $$v = \frac{2x_1x_2}{x_1 + x_2}$$

代入具体例子计算 #

例子里$x_1=45$，$x_2=90$，$y_1=y_2=16$分钟，刚好符合$y_1=y_2$的情况，代入简化公式：
$$v = \frac{2 \times 45 \times 90}{45 + 90} = \frac{8100}{135} = 60 \text{ mph}$$
对应选项里的60mph，就是这道题的正确答案。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者NotVersed