多元齐次多项式不可约性相关问题咨询

我最近在学习多元多项式的不可约性，已经掌握了单变量多项式的一些经典判别工具，比如艾森斯坦判别法、高斯引理，也清楚$k[x,y]=(k[x])[y]$这类环的结构关系，但对多元多项式的不可约性判断还不太熟练，积累了几个问题想请教大家，麻烦帮忙解答一下，谢谢！

• 第一个问题：想证明$x^3 - xy^2 + y^3 \in \mathbb{Q}[x,y]$是不可约的。我已经知道单变量多项式$t^3 - t + 1 \in \mathbb{Q}[t]$是不可约的（用高斯引理可以验证），不知道这个结论和当前的二元多项式问题有没有关联？能不能借助它来证明？
• 第二个问题：请问$x^3 + y^3 + 7z^3 \in \mathbb{C}[x,y,z]$是不是不可约的？
• 第三个问题：当$k$是域时，$x^2 + xy + y^2 \in k[x,y]$什么时候是不可约的？我已经了解到当$\mathop{\mathrm{ch}} k = 3$时，这个多项式可以写成$(x - y)^2$，是可约的，那其他特征的域上情况如何呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kazune Takahashi