关于允许任意指数的类多项式表达式与函数的标准术语咨询
关于允许任意指数的类多项式表达式与函数的标准术语咨询
各位大佬,想请教个术语问题:有没有公认的名称来称呼这类类似多项式(或类多项式形式表达式)的函数?它们的形式和多项式差不多,但指数不一定是自然数——具体来说就是这种形式:
$$ \sum _ { k = 1 } ^ n a _ k x ^ { e _ k } = a _ 1 x ^ { e _ 1 } + a _ 2 x ^ { e _ 2 } + \cdots + a _ n x ^ { e _ n } $$
这里$x$是函数的自变量(或未定元),$n$是自然数,每个$a_k$是实数,每个$e_k$是实数。当然换成其他数域的版本也有用,但得比整数指数更通用,所以‘Laurent多项式’肯定不是答案,因为它只允许整数指数。
我知道这类函数在数学上不算特别重要,至少把它们当作形式表达式处理时,确实能构成一个交换代数。但我教微积分的时候烦透了每次都要跟学生说‘多项式以及那些类似多项式但指数不必是整数的东西’,真的需要一个简洁的简称来指代它们!
推荐术语及相关说明
- 单项式的有限线性组合:这是最严谨的表述,本质上你描述的就是有限个形如$a x^e$($e$为实数)的单项式相加,很多教材和文献都会采用这个说法,虽然稍长,但准确无歧义,学生也能快速理解背后的数学本质。
- 广义多项式:这是教学场景里非常常用的简称,用来指代这种扩展了指数范围的“类多项式”完全合适。虽然这个术语的定义在不同语境下可能略有差异,但在微积分入门阶段,用来特指实数指数的情况,学生很容易就能明白是多项式的扩展版本。
- 实指数多项式:如果需要更明确地限定指数类型,这个说法清晰直白,直接点明了指数是实数,不会和其他广义多项式的定义混淆。
额外补充:如果是在更学术的形式幂级数语境下,这类表达式也会被称为有限支撑的实指数形式幂级数,但这个表述太晦涩,不适合用来给微积分学生讲解,还是前面几个术语更实用。
备注:内容来源于stack exchange,提问作者Toby Bartels
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