寻求含$e^{-2\pi}$参数q-双伽马函数的无穷级数的闭式表达式

嘿，我来帮你一步步分析这个关于q-双伽马函数的无穷级数问题，推导它的闭式表达式。首先先明确涉及到的函数定义：

相关函数定义 #

首先，q-双伽马函数$\psi_q(z)$（定义在$\Re(z)>0$时）是q-伽马函数的对数导数：
$$
\psi_q(z)=\frac{1}{\Gamma_q(z)}\frac{\partial}{\partial z} (\Gamma_q(z))
$$

而q-伽马函数$\Gamma_q(z)$的定义为：
$$
\Gamma_q(z)=(1-q)^{{1-z}\prod_{n=0}}{\infty}\frac{1-q^{n+1}}{1-q{n+z}}
$$

你要找闭式的级数是：
$$
\sum_{n=1}^\infty \psi_{e^{{-2\pi}}(n+1)\left(\frac{1}{n}3}-\frac{1}{(n+1)^3}\right)
$$

级数的转化与推导 #

我们可以用分部求和法（阿贝尔求和公式）来处理这个级数。设$a_n = \psi_{e^{-2\pi}}(n+1)$，$b_n = \frac{1}{n^{3}$，原级数可写成$\sum_{n=1}}\infty a_n(b_n - b_{n+1})$，根据分部求和公式：
$$
\sum_{n=1}^\infty a_n(b_n - b_{n+1}) = a_1 b_1 + \sum_{n=1}^\infty (a_{n+1} - a_n) b_{n+1}
$$

步骤1：验证极限项

当$N\to\infty$时，$a_{N+1}b_{N+1} = \psi_{e^{{-2\pi}}(N+2)\cdot\frac{1}{(N+1)}3}$，而q-双伽马函数当$z\to\infty$时的渐近行为是$\psi_q(z) \sim -\ln(1-q) + o(1)$，因此这个极限项趋近于0，可以忽略。

步骤2：计算q-双伽马函数的差分

利用q-伽马函数的递推性质$\Gamma_q(z+1) = \frac{1-q^z}{1-q}\Gamma_q(z)$，取对数导数可得：
$$
\psi_q(z+1) - \psi_q(z) = -\frac{q^z \ln q}{1-q^z}
$$
代入$q=e^{-2\pi}$（此时$\ln q=-2\pi$），化简得：
$$
\psi_{e^{-2\pi}}(z+1) - \psi_{e^{-2\pi}}(z) = \frac{2\pi e^{-2\pi z}}{1-e^{-2\pi z}} = \frac{2\pi}{e^{2\pi z}-1}
$$

步骤3：代入分部求和公式

原级数$S$可以转化为：
$$
S = \psi_{e^{-2\pi}}(2) + \sum_{n=1}^\infty \frac{2\pi}{e^{2\pi(n+1)}-1} \cdot \frac{1}{(n+1)^3}
$$
将求和下标替换为$k=n+1$，并补充$k=1$的项再减去，得到：
$$
S = \psi_{e^{-2\pi}}(2) + 2\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3(e{2\pi k}-1)} - \frac{2\pi}{e^{2\pi}-1}
$$

步骤4：计算$\psi_{e^{-2\pi}}(2)$的具体值

通过q-双伽马函数的级数展开式$\psi_q(z) = -\ln(1-q) + \ln q \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n+z}}{1-q{n+z}}$，代入$z=2$和$q=e^{-2\pi}$，可以化简得到：
$$
\psi_{e^{-2\pi}}(2) = -\ln(1-e^{-2\pi}) -2\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^{2\pi k}-1} + \frac{2\pi}{e^{2\pi}-1}
$$

步骤5：合并化简

将$\psi_{e^{{-2\pi}}(2)$代入$S$的表达式，会发现$\frac{2\pi}{e}{2\pi}-1}$项相互抵消，最终得到：
$$
S = -\ln(1-e^{-2\pi}) -2\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^{2\pi k}-1} + 2\pi\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3(e{2\pi k}-1)}
$$

进一步的闭式简化 #

对于其中的级数项，我们可以利用特殊函数的已知结果：

1. 第一个级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^{2\pi k}-1}$可以用Dedekind eta函数$\eta(\tau)$表示（当$\tau=i$时，$q=e^{-2\pi}$）：
   $$
   \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{e^{2\pi k}-1} = \frac{1}{2}\left( \frac{\pi}{12} - \ln \eta(i) \right)
   $$
   而$\eta(i) = \frac{\Gamma(1/4)}{2^{7/4}\pi{3/4}}$，代入后可以将级数转化为Gamma函数与对数的组合形式。

2. 第二个级数$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^3(e{2\pi k}-1)}$属于Dirichlet型级数，目前没有更简洁的初等闭式，但可以表示为模形式的特殊值；由于$q=e^{-2\pi}$很小，级数收敛极快，数值计算也非常方便。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Max