自共轭分拆（Self-transpose Partitions）与不同奇数部分（Distinct Odd Parts）分拆的数量等价性组合论证问询

我最近在研究分拆理论里的一个问题，先跟大家梳理下背景、已有的进展，然后想请教下如何完成对应的组合论证：

背景定义 #

一个分拆被称为自共轭分拆（self-transpose partition），如果它的Ferrers图关于对角线对称，也就是这个分拆和它的转置分拆完全相同。

举个例子，当n=8时：

• 自共轭分拆有2个：
  • 4 + 2 + 1 + 1
  • 3 + 3 + 2
• 拆分为不同奇数部分的分拆也有2个：
  • 7 + 1
  • 5 + 3

这两类分拆的数量刚好相等，这让我很感兴趣。

针对n=13的具体结果 #

我已经根据@Greg Martin的回答，找到了n=13对应的两类分拆：

自共轭分拆 #

• 4 + 4 + 3 + 2
• 5 + 3 + 3 + 1 + 1
• 7 + 1 + 1 + 1 + 1

拆分为不同奇数部分的分拆 #

• 13
• 9 + 3 + 1
• 7 + 5 + 1

可以看到数量依然是相等的。

核心问题 #

现在需要一个组合论证来严谨证明：对于任意正整数n，n的自共轭分拆数量，和n拆分为不同奇数部分的分拆数量是完全相等的。提示里提到可以从自共轭分拆的Ferrers图特征入手。

我自己有个初步的思路：观察自共轭分拆的Ferrers图，把图里从对角线向外的每一层（类似“钩形”的环）对应的数值算出来，这些数值都是奇数，而且彼此不同；把这些奇数加起来，就刚好对应一个拆分为不同奇数部分的分拆。反过来，每个拆分为不同奇数部分的分拆，也能通过把每个奇数对应成Ferrers图里的一层，拼出一个自共轭分拆。不过我还没法把这个对应关系的严谨性说清楚，想请教下大家怎么完善这个组合论证？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1154312