仅包含MPP（肯定前件规则）和^I（析取引入规则）的命题演算系统的可靠性、完备性及规则表达能力问询

嘿，这个问题问到命题逻辑系统的核心特性上了，咱们拆成三个核心点来逐一唠清楚：

一、可靠性：是，这个系统是可靠的 #

可靠性的定义是：系统中所有可证明的结论（从前提推导出来的公式）都是语义有效的——也就是说，只要前提为真，结论必然为真。咱们看这两个规则的表现：

• MPP（肯定前件）：如果前提P→Q和P都为真，根据经典命题逻辑的语义，Q一定为真，完全保真。
• ^I（析取引入）：如果前提P为真，那么P∨Q或者Q∨P必然为真（析取式只要有一个析取支为真就成立），同样是保真的。
  每一步推导都不会从真前提得出假结论，所以这个受限的系统是满足可靠性要求的。

二、完备性：否，这个系统完全不完备 #

完备性的定义是：所有语义有效的公式（也就是重言式，不管什么赋值都为真的公式）都能在系统中被证明出来。但这个系统做不到，举几个简单的反例：

• 重言式P→P：你没法用MPP和^I推导出它——MPP需要先有一个蕴涵式和前件，^I只能生成析取式，根本没法构造出条件式。
• 排中律P∨¬P：系统里没有任何处理否定的规则，连¬P都没法构造出来，更别说推导出这个重言式了。
• 矛盾式的否定¬(P∧¬P)：同样，系统里没有合取引入规则，连P∧¬P都没法生成，更别说证明它的否定是重言式了。
  大量核心重言式都无法在这个系统内得到证明，所以它肯定是不完备的。

三、能否用这两个规则重写所有自然演绎规则：完全不可能 #

自然演绎系统的核心规则涵盖了合取、析取、蕴涵、否定的引入和消去，而MPP和^I只覆盖了蕴涵消去和析取引入，连最基础的其他规则都没法模拟：

• 合取引入（∧I）：从P和Q得到P∧Q——系统里没有任何规则能生成合取式，^I只能出析取，MPP只能从蕴涵式得到后件，完全没法构造合取式。
• 否定引入（¬I）：从假设P推出矛盾得到¬P——系统既没有处理否定的规则，也没法构造矛盾式（需要合取+否定），根本没法实现这个规则。
• 条件引入（→I）：从假设P推出Q得到P→Q——系统没有任何规则能生成新的蕴涵式，MPP只是使用已有的蕴涵式，没法构造出P→Q这种条件式。
• 析取消去（∨E）：从P∨Q、P→R、Q→R得到R——这个规则需要结合MPP，但系统里没有办法引入P→R和Q→R这类条件式，所以也没法模拟。

简单说，这两个规则的表达能力太有限了，连自然演绎的半壁江山都覆盖不了，更别说重写所有规则了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Toby