关于两个凸锥的张量积的内部是否等于其内部的张量积的技术问询

各位大佬，我最近在研究凸锥的张量积时碰到了这么一个问题，想请教大家：

假设我们有两个凸锥：

• $C \subseteq \mathbb{R}^n$，是n维欧氏空间中的凸锥，且包含原点
• $D \subseteq \mathbb{R}^m$，是m维欧氏空间中的凸锥，同样包含原点

给定元素 $M \in C \otimes D$，也就是说$M$可以表示为有限个张量的和：
$$M = c_1 \otimes_{\mathbb{R}} d_1 + \cdots + c_N \otimes_{\mathbb{R}} d_N$$
其中每个 $c_i \in C$，每个 $d_i \in D$。

我的问题是：如果$M$属于 $C \otimes D$ 在 $\mathbb{R}^n \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{R}^m$ 中的内部（记为 $(C \otimes D)^\circ$），那是否存在有限个元素：

• $p_1, \dots, p_M$ 属于$C$的内部（$C^\circ$）
• $q_1, \dots, q_M$ 属于$D$的内部（$D^\circ$）
  使得$M$可以写成这些内部元素的张量和：
  $$M = p_1 \otimes_{\mathbb{R}} q_1 + \cdots + p_M \otimes_{\mathbb{R}} q_M?$$

换个更凝练的表述，这个问题本质上就是在问：$(C \otimes D)^\circ = C^\circ \otimes D^\circ$ 是否成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Colin Tan