计算IIT-Jee考试中随机作答30道客观题得分≥0的probability

嘿，我完全理解你的想法——蒙题看似是个博弈，但从概率角度确实能算出具体的可能性。咱们一步步来拆解这个问题：

首先，先明确得分规则：每道题答对得4分，答错扣1分，30道题全靠瞎蒙。我们先算一下，要拿到0分或更高，至少得答对多少道题。

设答对的题数为k，那答错的就是30 - k道。总得分可以写成：
得分 = 4k - 1*(30 - k) = 5k - 30

要得分≥0，就是5k - 30 ≥ 0，解这个不等式得k ≥ 6。也就是说，只要蒙对6道或更多题，得分就不会低于0。

接下来，这是一个典型的二项分布问题：每道题答对的概率是1/4（4个选项瞎蒙），答错是3/4，30道题独立作答。我们需要计算的是答对题数k≥6的概率，也就是P(X≥6)，其中X服从参数n=30，p=1/4的二项分布。

计算这个概率最直接的方式是用1减去答对0到5道题的概率之和：
P(X≥6) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)]

每一项的概率公式是：
P(X=k) = C(30, k) * (1/4)^k * (3/4)^(30 - k)
这里的C(30, k)是组合数，代表从30道题里选k道答对的组合方式。

现在我们来具体计算每一项：

• P(X=0) = C(30,0)*(1/4)^0*(3/4)30 ≈ 0.00018
• P(X=1) = C(30,1)*(1/4)^1*(3/4)29 ≈ 0.00181
• P(X=2) = C(30,2)*(1/4)^2*(3/4)28 ≈ 0.00863
• P(X=3) = C(30,3)*(1/4)^3*(3/4)27 ≈ 0.02685
• P(X=4) = C(30,4)*(1/4)^4*(3/4)26 ≈ 0.06042
• P(X=5) = C(30,5)*(1/4)^5*(3/4)25 ≈ 0.1047

把这些加起来：0.00018 + 0.00181 + 0.00863 + 0.02685 + 0.06042 + 0.1047 ≈ 0.20259

所以P(X≥6) ≈ 1 - 0.20259 = 0.79741，也就是大概**79.7%**的概率能拿到0分或更高。

换句话说，瞎蒙这30道题，有将近80%的概率不会亏分，反而大概率能赚分——这和那位导师说的“只选确定的答案”确实有冲突，从概率数据来看，蒙题的预期收益其实是正的：每道题的预期得分是(1/4)4 + (3/4)(-1) = 1 - 0.75 = 0.25分，30道题的预期总得分是7.5分，显然是正的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user5858