关于自然数理论扩展方向合理性的技术问询

咱们先从哥德尔不完备定理说起——任何形式系统都无法推导出自然数集的全部真理。所以要是想证明更多之前搞不定的结论，唯一的办法就是不断扩展现有的形式系统。

从罗宾逊算术到皮亚诺算术 #

一开始咱们从罗宾逊算术出发：

• 在这个理论框架里，“每个自然数要么是偶数要么是奇数”是个不可判定命题——既没法证明它真，也没法证伪。但咱们凭直觉就知道这事儿肯定是对的，总不能就这么悬着吧？于是咱们把罗宾逊算术扩展到了皮亚诺算术（PA），这下就能证明这个命题为真了。

从皮亚诺算术到ZFC #

到了皮亚诺算术这儿，新的问题又来了：

• 古德斯坦定理在PA里是不可判定的。于是咱们又把系统升级到了ZFC，这下古德斯坦定理终于能被证明为真了。但这儿就有个扎心的问题：我们真的能百分百确定古德斯坦定理是对的吗？说白了，会不会哪天有计算机跑出来一个反例打咱们的脸？而且更关键的是，我们怎么知道把PA扩展到ZFC，就是进一步“精准锁定”自然数本质的正确方向呢？

ZFC之后的困惑 #

再往下想，假设哥德巴赫猜想或者黎曼假设在ZFC里也是不可判定的：

• 那咱们是不是可以根据自己的需求随便规定它为真或者假？而且好像也没有什么一目了然的标准来指导我们选哪边？那到时候我们又该怎么扩展ZFC，才能继续精准“锁定”自然数的性质呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ryder Rude