关于表达式pq(p+q)(p−q)是否为完全平方数的技术问询

最近我在尝试证明1不是全等数的过程中，碰到了这么一个问题：

是否存在自然数$p,q \in \mathbb{N}$，使得表达式$$pq(p+q)(p-q)$$是一个完全平方数？

我自己摸索了一阵，目前有这些思路：

• 不失一般性，我们可以假设$\gcd(p,q)=1$，不然的话可以把$\gcd(p,q)^2$提取出来单独处理，不影响是否为完全平方数的判断。
• 接着我从素数幂次的角度分析：如果某个素数$r$在$p$或者$q$中的幂次是奇数，那么$r$必然能整除$p+q$或者$p-q$——但这样一来$r$就会同时整除$p$和$q$，这和我们之前假设的$\gcd(p,q)=1$矛盾。所以我推导得出，$p$和$q$都必须是完全平方数。

不过到这一步我就卡壳了，折腾了好半天也没再取得什么进展，想问问有没有大佬能给点思路或者指点一下？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者permutation_matrix