不同傅里叶基下波动方程边界条件求解的疑问
嘿，我来帮你梳理一下这个问题，先给你吃个定心丸：你通过分离变量得到的波动方程解是完全正确的，不用怀疑这个环节～
先回顾一下你的解：
$$\psi(z,t)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \cos{\frac{(2n-1) \pi z}{2z_0}} \sin{\frac{(2n-1) \pi ct}{2z_0}}$$
（注：这里把n的起始从0改成1更合理，因为n=0时余弦项会变成$\cos(-\pi z/(2z_0))$，和n=1的项是重复的，不影响最终结论）
这个解里的空间基函数$\cos{\frac{(2n-1) \pi z}{2z_0}}$刚好满足固定端边界条件$\psi(\pm z_0,t)=0$，而且初始位移$\psi(z,0)=0$的条件也完美适配，没问题。
接下来看初始速度的条件：你给出的$\psi_t(z,0)$是用另一组余弦基$\cos{\frac{n \pi z}{z_0}}$展开的，这两组基确实不一样，所以要得到$A_n$和$B_n$的关系，必然要通过正交内积来做基函数之间的转换，过程看起来复杂是正常的，不是哪里出错了。
具体推导一下：
- 先对解求时间导数，得到初始速度：
$$\psi_t(z,0)=\sum_{n=1}^{\infty} A_n \cdot \frac{(2n-1)\pi c}{2z_0} \cos{\frac{(2n-1) \pi z}{2z_0}}$$ - 把题目给出的初始速度表达式和上式联立：
$$\sum_{n=1}^{\infty} A_n \cdot \frac{(2n-1)\pi c}{2z_0} \cos{\frac{(2n-1) \pi z}{2z_0}} = \sum_{m=0}^{\infty} B_m \cos{\frac{m \pi z}{z_0}}$$ - 两边同时和基函数$\cos{\frac{(2k-1) \pi z}{2z_0}}$在区间$[-z_0,z_0]$上做内积（利用余弦函数的正交性）：
- 左边的积分结果会简化为$A_k \cdot \frac{(2k-1)\pi c}{2}$（计算时注意$\int_{-z_0}{z_0}\cos2{\frac{(2k-1)\pi z}{2z_0}}dz=z_0$）
- 右边的积分需要用三角恒等式$\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B)+\cos(A-B)]$展开，计算后会得到一个关于m的级数项
最终整理出来的$A_n$表达式会是这样的：
$$A_n = \frac{8 z_0}{\pi^2 c} \sum_{m=0}^{\infty} B_m \cdot \frac{(-1){m+n}}{4m2 - (2n-1)^2}$$
这个表达式确实是无穷级数形式，但这是因为你用了两组不同的傅里叶基来描述初始条件和解的空间部分，这种跨基的转换必然会涉及级数求和，完全是合理的结果，不是你的解出错了。如果后续需要数值计算，这个级数收敛速度其实还不错，截断前几项就能得到足够精确的结果。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pour étudier l'ingénierie
