约束条件abc=1下的分式不等式证明方法问询

问题内容 #

已知 (a, b, c) 均为正实数，且满足 (abc = 1)，需要证明：
$$\frac{a}{(a+3)^2} + \frac{b}{(b+3)^2} + \frac{c}{(c+3)^2} ≤ \frac{3}{16}$$

我的尝试 #

我自己先试了个思路：一开始想直接把不等式两边同时乘以 ((a+3)^2(b+3)2(c+3)^2) 来展开计算，但这种方法的计算量实在太大了，过程看起来特别复杂，根本没法顺利往下推进。想问问有没有更简洁巧妙的方法来证明这个不等式呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ash_Blanc