求Z=XY的累积分布函数（CDF）——基于给定的X和Y联合概率密度函数（PDF）

首先，咱们先明确累积分布函数的定义：$F_Z(z) = P(Z \leq z) = P(XY \leq z)$。根据X和Y的取值范围（$0 \leq X \leq 1, 0 \leq Y \leq 1$），咱们分三种情况讨论：

情况1：$z \leq 0$ #

因为X和Y都是非负随机变量，它们的乘积不可能小于0，所以：
$$F_Z(z) = 0$$

情况2：$z \geq 1$ #

XY的最大值是$1 \times 1 = 1$，所以事件$XY \leq z$必然发生，因此：
$$F_Z(z) = 1$$

情况3：$0 < z < 1$（这是你卡住的核心场景） #

你之前的问题出在没有拆分积分区域：当$x \leq z$时，$\frac{z}{x} \geq 1$，但Y的上限是1，所以此时y的积分上限应该是1，而不是$\frac{z}{x}$；只有当$x > z$时，$\frac{z}{x} < 1$，y的上限才是$\frac{z}{x}$。咱们把积分拆成两部分计算：

$$F_Z(z) = \int_{x=0}^{z} \int_{y=0}^{1} 2(1-y) dy dx + \int_{x=z}^{1} \int_{y=0}^{z/x} 2(1-y) dy dx$$

计算第一部分积分 #

先算内层关于y的积分：
$$\int_{0}^{1}2(1-y)dy = 2\left[y - \frac{y^{2}{2}\right]_0}1 = 2\left(1 - \frac{1}{2}\right) = 1$$
再对x积分：
$$\int_{0}^{z} 1 dx = z$$

计算第二部分积分 #

先算内层关于y的积分：
$$\int_{0}^{z/x}2(1-y)dy = 2\left[y - \frac{y^{2}{2}\right]_0}{z/x} = 2\left(\frac{z}{x} - \frac{z^2}{2x2}\right) = \frac{2z}{x} - \frac{z^2}{x2}$$
再对x从z到1积分：
$$\int_{z}^{1} \left(\frac{2z}{x} - \frac{z^2}{x2}\right) dx = 2z \ln x \bigg|{z}^{1} + z^2 \cdot \frac{1}{x} \bigg|{z}^{1}$$
代入上下限计算：
$$2z(\ln1 - \ln z) + z^2\left(1 - \frac{1}{z}\right) = 2z(-\ln z) + z^2 - z = -2z\ln z + z^2 - z$$

合并两部分结果 #

把两个积分的结果加起来：
$$F_Z(z) = z + (-2z\ln z + z^2 - z) = z^2 - 2z\ln z$$

这样就得到了你期望的结果，之前的ln(0)问题就是因为没拆分区域，错误地让x取到0时y的上限是$\frac{z}{x}$（趋近于无穷），但实际上x≤z时y的上限是1，完全避开了无意义的积分区间。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者ripbozo