关于满足三次复合等于恒等映射的连续实函数是否为恒等函数的证明疑问

嘿，你已经完成了最关键的几步推导，离结论只差临门一脚啦！咱们把已知的结论串起来，就能顺利证明$f(x)=x$了：

首先，你已经得出$f$是双射且单调的结论——这两个性质是核心。咱们先分析单调性：

• 假设$f$是严格递减的，那么$f \circ f$就是严格递增的（递减函数复合递减函数会变成递增），再复合一次$f$，$f \circ f \circ f$就成了递增函数复合递减函数，结果是严格递减的。但题目里$f \circ f \circ f(x)=x$，而$y=x$是严格递增的，这就矛盾了！所以$f$只能是严格递增的。

接下来，用严格递增的性质来证明$f(x)=x$对所有$x \in \mathbb{R}$成立：

• 假设存在某个$x_1$，使得$f(x_1) \neq x_1$：
  • 如果$f(x_1) > x_1$，因为$f$严格递增，所以$f(f(x_1)) > f(x_1) > x_1$，进一步$f(f(f(x_1))) > f(f(x_1)) > f(x_1) > x_1$。但根据题意$f(f(f(x_1)))=x_1$，这就产生了矛盾；
  • 如果$f(x_1) < x_1$，同理，$f(f(x_1)) < f(x_1) < x_1$，$f(f(f(x_1))) < f(f(x_1)) < f(x_1) < x_1$，同样和$f(f(f(x_1)))=x_1$矛盾。

这说明不存在这样的$x_1$，即对所有$x \in \mathbb{R}$，$f(x)=x$。

另外，你提到的“存在$x_0$使得$f(x_0)=0$”也能验证这个结论：因为$f(f(f(x_0)))=f(f(0))=f(x_0)=0$，而根据题意$f(f(f(x_0)))=x_0$，所以$x_0=0$，也就是$f(0)=0$，完全符合$f(x)=x$的结果；你得出的“若$a<x_0<b$则$f(a)f(b)<0$”，结合$x_0=0$，就是$a<0<b$时$f(a)f(b)<0$，而$f$严格递增的话，$f(a)<f(0)=0$、$f(b)>f(0)=0$，乘积自然小于0，也和你的推导一致。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kei