使用特定采样点的黎曼和计算∫₁ᵇx^(-1/2)dx的技术咨询

嘿，我来帮你梳理一下这个问题～首先先给你吃个定心丸：你的分区思路本身没问题，但有个小细节写错了，咱们先修正这个，再一步步简化表达式。

1. 修正均匀分区的定义 #

你写的分区$\mathcal{P}_n=\left{1,1+\frac{b}{n},1+\frac{2b}{n},\dots,1+\frac{b(n-1)}{n},b\right}$有个小疏漏：如果步长是$\frac{b}{n}$，那最后一项应该是$1 + \frac{b \cdot n}{n} = 1+b$，而不是$b$。正确的均匀分区步长应该是$\Delta x = \frac{b-1}{n}$，所以每个分点应该是：
$$x_i = 1 + i \cdot \frac{b-1}{n}, \quad i=0,1,\dots,n$$
这样$x_0=1$，$x_n=1 + n \cdot \frac{b-1}{n}=b$，完全符合区间$[1,b]$的要求。这个小错误可能会干扰后续计算，先修正过来。

2. 简化$f(x^*_i)$的表达式 #

你已经算出$f(x^i)=\frac{2}{\sqrt{x{i-1}}+\sqrt{x_i}}$，这一步完全正确！接下来我们对这个分式做有理化处理，分子分母同时乘以$\sqrt{x_i} - \sqrt{x_{i-1}}$：
$$
f(x^i) = \frac{2(\sqrt{x_i} - \sqrt{x{i-1}})}{(\sqrt{x_i}+\sqrt{x_{i-1}})(\sqrt{x_i}-\sqrt{x_{i-1}})}
$$
分母用平方差公式展开后就是$x_i - x_{i-1}$，而$x_i - x_{i-1}$正好是我们的步长$\Delta x$，所以可以简化为：
$$
f(x^*i) = \frac{2(\sqrt{x_i} - \sqrt{x{i-1}})}{\Delta x}
$$

3. 计算黎曼和$R_n$ #

现在把这个结果代入黎曼和的公式：
$$
R_n = \sum_{i=1}^n \Delta x \cdot f(x^*i) = \sum{i=1}^n \Delta x \cdot \frac{2(\sqrt{x_i} - \sqrt{x_{i-1}})}{\Delta x}
$$
这里$\Delta x$可以直接约掉，剩下：
$$
R_n = 2\sum_{i=1}^n (\sqrt{x_i} - \sqrt{x_{i-1}})
$$
这是一个望远镜求和（telescoping series），展开后相邻项会相互抵消：
$$
\sum_{i=1}^n (\sqrt{x_i} - \sqrt{x_{i-1}}) = (\sqrt{x_1}-\sqrt{x_0}) + (\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}) + \dots + (\sqrt{x_n}-\sqrt{x_{n-1}}) = \sqrt{x_n} - \sqrt{x_0}
$$
代入$x_n=b$，$x_0=1$，就得到：
$$
R_n = 2(\sqrt{b} - \sqrt{1}) = 2(\sqrt{b}-1)
$$
最后取$n \to \infty$的极限，结果就是$2(\sqrt{b}-1)$，和直接积分得到的结果完全一致！

总结一下：你的采样点选得非常巧妙，刚好能让黎曼和变成望远镜求和，大大简化了计算；只是分区的步长定义有个小错误，修正之后整个过程就顺畅了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Bell