n次独立抛硬币试验中首次出现反面的最大次数的期望求解

我来梳理一下这个问题的推导思路，咱们要解决的是n次独立抛硬币试验里，每次试验首次抛出反面时的抛币次数的最大值的期望。

首先先推导最大值X取某个整数k的概率：

• 当X=1时，意味着n次试验里每一次都是第一次抛就出反面，概率很直观：
  $$\text{Pr}(X = 1) = \frac{1}{2^n}$$
• 当X=2时，要求至少有一次试验抛了2次才出反面，且所有试验的抛币次数都不超过2。我们可以用“所有试验次数≤2的概率”减去“所有试验次数≤1的概率”来计算，结果是：
  $$\text{Pr}(X = 2) = \left(\frac{3}{4} \right)^n - \left(\frac{1}{2} \right)^n$$
• 同理，X=3时，就是“所有试验次数≤3的概率”减去“所有试验次数≤2的概率”，推导后得到：
  $$\text{Pr}(X = 3) = \left(\frac{7}{8} \right)^n - \left(\frac{3}{4} \right)^n$$
• 推广到一般情况，X=k的概率可以表示为：
  $$\text{Pr}(X = k) = \left(\frac{2^k-1}{2k} \right)^n - \left(\frac{2^{k-1}-1}{2{k-1}} \right)^n$$
  这个式子的本质是用“所有试验的首次反面出现次数≤k”的概率，减去“所有试验的首次反面出现次数≤k-1”的概率，通过二项式展开也能验证这个结果。

接下来计算期望E(X)，根据期望的定义，我们需要对所有k≥1的情况求和k乘以对应的概率：
$$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot P(X=k) = \sum_{k=1}^{\infty} {k \cdot \left[ (1-2^{-k})n - (1-2^{-k+1})n \right]}$$

另外提一下，这个问题和独立同分布几何随机变量的最大值的期望是同类型的问题，不过很遗憾的是，目前这个问题似乎没有闭式解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daniel Wang