度量空间中E\∂E为开集的证明疑问

问题背景与题目 #

设$X$是一个度量空间，$E \subset X$。我们称$x \in X$是$E$的边界点，如果$x$的每个邻域都至少包含一个$E$中的点和一个$E^c$中的点。所有边界点的集合记为$\partial E$。

证明：$E \setminus \partial E$是开集。

我的尝试与困惑 #

我目前的思路是这样的：

• 假设$x \in E \setminus \partial E$，我们需要找到一个以$x$为中心的开球完全包含在$E \setminus \partial E$中。
• 因为$x \notin \partial E$，所以存在$x$的一个邻域$U$，要么只包含$E$中的点，要么只包含$E^c$中的点。
• 又因为$x \in E$，所以这个邻域不可能只包含$E^c$的点，所以$U$一定是$E$的子集。

现在卡在这儿了：怎么证明这个邻域$U$里没有任何$\partial E$中的点呢？

解答思路 #

别着急，咱们一步步来补全这个证明：

既然已经知道存在邻域$U \subset E$（因为$x \in E$，排除了$U \subset E^c$的情况），现在要证$U$里的任意一点$y$都不属于$\partial E$，这样$U$就完全包含在$E \setminus \partial E$里了。

取$y \in U$，因为$U$是度量空间中的开邻域（我们可以直接取开球作为$U$），所以存在$y$的一个邻域$V$，使得$V \subset U \subset E$。这就意味着$V$里全是$E$的点，没有$E^c$的点。

根据边界点的定义：如果$y$是$\partial E$的点，那它的每个邻域都得同时包含$E$和$E^c$的点，但现在我们找到了$V$这个邻域，里面只有$E$的点，这就矛盾了。所以$y \notin \partial E$。

那这样一来，整个$U$里的点都属于$E \setminus \partial E$，也就是说$x$有一个开邻域完全包含在$E \setminus \partial E$中，根据开集的定义，$E \setminus \partial E$就是开集啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathEnthusiast