带非经典边界条件的抛物型PDE解的存在性证明及转化方法问询

Hey there! Let's break down your questions about the heat equation with non-standard boundary conditions step by step.

First, let's recap your original problem for context:

Assume that one has a classical PDE, say: $u_t(t,x)-u_{xx}(t,x)=0$, $t\in (0,1)$, $x\in (0,2)$, and $u(0,x)=0$. Then we can prove existence (and uniqueness) of solution when boundary conditions: $u(t,0)=f(t)$, $u(t,2)=g(t)$ are prescribed.

1. 将$u(t,0)=f(t)$替换为$u(t,1)=f(t)$的情况 #

你修改后的第一个问题形式如下：
$$
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & t\in(0,1), x\in(0,2) \
u(0,x) = 0, & x\in(0,2) \
u(t,1) = f(t), & t\in(0,1) \
u(t,2) = g(t), & t\in(0,1)
\end{cases}
$$

首先要明确一个关键结论：这个问题本身是不适定的。我们没有给空间区间的左端点$x=0$设定任何边界条件，这意味着存在无穷多个解——你可以给任意一个满足热方程且在$x=1$、$x=2$处取值为0的函数$v(t,x)$，加到原解上，得到的新函数依然满足所有给定条件。

如果你是不小心遗漏了$x=0$处的条件，或是打算通过拆分区间处理内部边界，可按以下方式操作：

• 将空间区间$(0,2)$拆分为$(0,1)$和$(1,2)$两个子区间，分别定义$u_1(t,x)$（对应$x\in(0,1)$）和$u_2(t,x)$（对应$x\in(1,2)$）
• 对$u_1$：求解热方程，初值为$u_1(0,x)=0$，边界条件为$u_1(t,1)=f(t)$，同时补充你原本计划的$x=0$处边界条件（比如$u_1(t,0)=h(t)$）
• 对$u_2$：求解热方程，初值为$u_2(0,x)=0$，边界条件为$u_2(t,1)=f(t)$和$u_2(t,2)=g(t)$
• 为了保证拼接后的$u(t,x)$是经典解，需要在$x=1$处添加匹配条件：
  • 连续性：$u_1(t,1^-) = u_2(t,1^+) = f(t)$
  • 一阶导数连续：$u_{1x}(t,1^-) = u_{2x}(t,1^+)$（原方程是二阶，一阶导数跳跃会导致二阶导数出现脉冲，违反方程要求）

拆分后的每个子问题都是带标准Dirichlet边界条件的热方程，你可以用分离变量法、格林函数法或半群理论等经典方法证明解的存在唯一性，再拼接得到原问题的解。

2. 边界条件为$u(t,0)=u(t,1)=f(t)$且$u(t,2)=g(t)$的情况 #

你修改后的第二个问题形式如下：
$$
\begin{cases}
u_t - u_{xx} = 0, & t\in(0,1), x\in(0,2) \
u(0,x) = 0, & x\in(0,2) \
u(t,0) = u(t,1) = f(t), & t\in(0,1) \
u(t,2) = g(t), & t\in(0,1)
\end{cases}
$$

这个问题是适定的，你可以将其转化为标准边界条件问题，或是直接拆分区间求解。

方法一：转化为齐次边界条件问题

构造一个满足非齐次边界条件的辅助函数$w(t,x)$，再定义$v(t,x) = u(t,x) - w(t,x)$，将原问题简化为标准问题：

• 对每个固定的$t$，分段定义$w(t,x)$：
  • 当$x\in[0,1]$时，$w(t,x)=f(t)$
  • 当$x\in[1,2]$时，$w(t,x)=f(t) + (g(t)-f(t))(x-1)$
• 此时$v(t,x)$满足：
  $$
  \begin{cases}
  v_t - v_{xx} = -(w_t - w_{xx}), & t\in(0,1), x\in(0,2) \
  v(0,x) = -w(0,x), & x\in(0,2) \
  v(t,0)=v(t,1)=v(t,2)=0, & t\in(0,1)
  \end{cases}
  $$
  这是一个带齐次Dirichlet边界条件的非齐次热方程，你可以用格林函数法或分离变量法证明解的存在唯一性，再通过$u = v + w$还原原问题的解。

方法二：拆分区间求解子问题

和第一个问题类似，将$(0,2)$拆分为$(0,1)$和$(1,2)$：

• 对$x\in(0,1)$：求解热方程，初值为$u_1(0,x)=0$，边界条件为$u_1(t,0)=u_1(t,1)=f(t)$
• 对$x\in(1,2)$：求解热方程，初值为$u_2(0,x)=0$，边界条件为$u_2(t,1)=f(t)$、$u_2(t,2)=g(t)$
• 在$x=1$处添加匹配条件：$u_1(t,1^-) = u_2(t,1^+) = f(t)$且$u_{1x}(t,1^-) = u_{2x}(t,1^+)$

每个子问题都是标准热方程，你可以应用经典的存在唯一性结论，再拼接得到原问题的解。

核心结论 #

• 仅在$x=1$和$x=2$处给定边界条件的问题是不适定的，需要补充$x=0$处的条件，或是拆分区间处理内部边界
• 在$x=0$和$x=1$处给定匹配边界条件的问题，可通过构造辅助函数转化为标准问题，或是拆分区间求解子问题后拼接

备注：内容来源于stack exchange，提问作者S. Euler