泊松分布与几何分布下P(X=Y)的概率求解

嘿，这个问题其实是独立随机变量联合概率的典型应用，咱们一步步拆解，保证你能搞懂：

首先，得先明确两个分布的概率质量函数（PMF），毕竟这是计算的基础：

• 泊松分布 (X \sim P(\lambda))，其中(\lambda=7.3)，它的PMF是：
  P(X=k) = (e^{-\lambda} \cdot \lambda^k) / k!，这里k的取值是0,1,2,...（非负整数）
• 几何分布 (Y \sim G(p))，(p=0.6)，这里要注意几何分布有两种常见定义，咱们分别讨论：
  1. 定义1：Y表示「首次成功所需的试验次数」，此时k的取值是1,2,...（正整数），PMF为：
     P(Y=k) = (1-p)^{k-1} \cdot p
  2. 定义2：Y表示「首次成功前的失败次数」，此时k的取值是0,1,2,...（非负整数），PMF为：
     P(Y=k) = (1-p)^k \cdot p

因为X和Y是独立随机变量，所以P(X=Y)等于所有满足X=k且Y=k的概率之和，也就是对k的公共可能取值求和：P(X=Y) = \sum_{k} P(X=k) \cdot P(Y=k)

接下来咱们分情况计算：

情况一：几何分布为「首次成功所需试验次数」 #

此时k的公共取值是1,2,...，所以求和从k=1到∞：

P(X=Y) = \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right) \cdot \left( (1-p)^{k-1} p \right)

把常数项提出来简化：

P(X=Y) = e^{-\lambda} \cdot \frac{p}{1-p} \cdot \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(\lambda(1-p))^k}{k!}

咱们知道指数函数的泰勒展开式：\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x，所以\sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k!} = e^x - 1。这里代入x = \lambda(1-p) = 7.3 × 0.4 = 2.92，代入数值计算：

• e^{-7.3} ≈ 0.00067
• \frac{p}{1-p} = \frac{0.6}{0.4} = 1.5
• e^{2.92} - 1 ≈ 18.58 - 1 = 17.58
  最终结果约为：0.00067 × 1.5 × 17.58 ≈ 0.0177（也就是约1.77%）

情况二：几何分布为「首次成功前的失败次数」 #

此时k的公共取值是0,1,2,...，求和从k=0到∞：

P(X=Y) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!} \right) \cdot \left( (1-p)^k p \right)

同样提取常数项并利用泰勒展开：

P(X=Y) = e^{-\lambda} \cdot p \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda(1-p))^k}{k!} = e^{-\lambda} \cdot p \cdot e^{\lambda(1-p)} = p \cdot e^{-\lambda p}

代入数值计算：

• \lambda p = 7.3 × 0.6 = 4.38
• e^{-4.38} ≈ 0.0124
  最终结果约为：0.6 × 0.0124 ≈ 0.0074（也就是约0.74%）

最后提醒一下：不同教材/资料对几何分布的定义可能不同，做题时一定要先确认题目里几何分布的取值范围哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者elephanty