关于图乘积G×H连通性充要条件的证明求助

大家好，我现在卡在图乘积连通性的充要条件证明上了，先把问题背景和我的困惑说清楚：

给定简单图G和H，定义图乘积$G \times H$：

• 顶点集是所有有序对$(u,v)$，其中$u \in V(G)$，$v \in V(H)$
• 两个顶点$(u_1,v_1)$和$(u_2,v_2)$相邻当且仅当$u_1$与$u_2$在G中相邻，且$v_1$与$v_2$在H中相邻
  需要证明：$G \times H$连通当且仅当G和H都连通，且至少其中一个不是二分图

之前看到Joffan提到“至少一个图不是二分图”等价于“该图包含奇环”，但我对剩下的证明完全摸不着头脑，主要有两个核心困惑：

困惑一：反向推导的逻辑起点找不到 #

我完全不知道怎么证明「若$G \times H$连通，则G、H都连通且至少一个非二分图」。比如：

• 先假设$G \times H$连通，怎么推导G和H本身必须是连通的？
• 又怎么推导不能两个图都是二分图？

困惑二：正向证明中的特殊路径构造卡壳 #

在正向证明（G、H连通且至少一个非二分图 → $G \times H$连通）里，核心要证任意两个顶点$(u_1,v_1)$和$(u_2,v_2)$之间存在路径，但我遇到一个特殊情况卡壳了：
假设$u_1$和$u_2$在G中不直接相邻（但因为G连通，存在$u_1$到$u_2$的路径），同时$v_1$和$v_2$都不在H的奇环里（假设H是非二分图，存在奇环），那怎么证明$(u_1,v_1)$到$(u_2,v_2)$在$G \times H$里有路径？

有没有大佬能给点提示或者思路呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Giorgos Mitropoulos