满足系数约束与两点取值相等的自然数系数多项式相等性证明问询

嗨，咱们来深入分析这个多项式相等性的证明问题：

问题陈述：
考虑系数为自然数（包括0）的多项式 $P, Q$，其中多项式 $P$ 的所有系数都不大于 $b-1$（$b\in\mathbb{N}$）。给定正整数 $a, b$ 满足 $a < b$，且 $P(a)=Q(a)$、$P(b)=Q(b)$，证明 $P$ 与 $Q$ 是同一个多项式。

关键分析观察 #

• 先给多项式的系数做个标记：设 $P$ 的系数为 $p_0,p_1,\dots$，$Q$ 的系数为 $q_0,q_1,\dots$。根据题设里的两个等式 $P(a)=Q(a)$ 和 $P(b)=Q(b)$，显然多项式 $P-Q$ 在 $x=a$ 和 $x=b$ 处的取值都是0，这意味着它必然含有因式 $(x-a)(x-b)$。由此可以推出，常数项 $p_0 - q_0$ 一定是 $ab$ 的倍数——毕竟当 $x=0$ 时，$P(0)-Q(0)=p_0 - q_0 = \lambda(0) \times (0-a)(0-b) = \lambda(0) \times ab$，其中 $\lambda(x)$ 是 $P-Q$ 除以 $(x-a)(x-b)$ 得到的商多项式，所以结果自然是 $ab$ 的整数倍。
• 接着看商多项式 $\lambda(x) = \frac{P(x)-Q(x)}{(x-a)(x-b)}$，它的最高次项系数其实就是 $p_n - q_n$，这里的 $n$ 取的是 $P$ 和 $Q$ 中次数较高的那个多项式的次数。这个结论你用多项式长除法演算一遍就能直观验证：最高次项相除的时候，就是 $p_nx^n$ 除以 $x^2$（来自$(x-a)(x-b)$的最高次项），得到的就是 $p_nx^{n-2}$，而Q的最高次项同理，两者相减就是 $(p_n - q_n)x^{n-2}$，也就是$\lambda(x)$的最高次项系数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pjq42