关于△ABC中DE≤½P△ABC证明的收尾思路咨询

大家好，我现在卡在课本里一道三角形中位线相关的几何证明题上了，想请各位帮忙看看怎么完成最后一步的推导。

题目内容 #

给定△ABC，点D、E满足∠ADB=∠BEC=90°，证明：$DE ≤ \frac{1}{2}P_{\triangle ABC}$（注：$P_{\triangle ABC}$代表△ABC的周长）。

我的推导过程 #

我记得直角三角形中，从直角顶点引出的中线等于斜边的一半，所以先做了两条中线：

• 作Rt△ADB斜边AB的中线DK，得到$DK=AK=KB$
• 作Rt△BEC斜边BC的中线EM，得到$EM=BM=MC$

而KM本身是△ABC的中位线，由此推导得出：
$\frac{1}{2}P_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}AC + AK + MC = DK + KM + ME$

现在我得到了DK、KM、ME组成的折线，但不知道怎么把它和DE关联起来完成证明。课本里提到“三角形任意一边小于另外两边之和”，但我不确定该怎么把这个定理用在这里，有没有大佬能给点提示？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者curioushuman