连通光滑测地完备黎曼流形各向同性与SAS公设、五段公理的等价性及蕴含关系问询
各位好，我最近在研究黎曼流形的度量几何性质，遇到了一些困惑，想请教大家：
假设$M$是连通、光滑且测地完备的黎曼流形（根据Hopf-Rinow定理，它同时也是完备度量空间）。已知如果$M$满足SAS公设当且仅当它满足五段公理，那我想知道：
- $M$满足SAS公设的充要条件是它是各向同性黎曼流形吗？
- 如果二者不等价，那是不是各向同性必然能推出SAS公设？反过来SAS公设能推出各向同性吗？
如果能给个参考资料的指针就再好不过了，目前我只在Wolf的《Spaces of Constant Curvature》第8、12章看到过各向同性流形的内容，但里面没提五段公理或SAS公设。
先明确几个关键定义
各向同性黎曼流形
称黎曼流形$M$是各向同性的，意思是：对任意点$p \in M$，以及任意两个单位切向量$v,w \in T_p M$，都存在一个等距映射$\varphi: M \to M$，使得$\varphi(p)=p$，并且$\varphi$的切映射把$v$映成$w$。（注：这个定义可能不同资料里会有细微差别）
SAS公设
说黎曼流形$M$满足SAS公设，是指：对任意两组点$p,q,r$和$p',q',r'$，只要
$$d(p,q) = d(p',q'), \quad d(q,r)=d(q',r'), \quad \angle (p,q,r) = \angle(p',q',r')$$
就一定有
$$d(p,r)=d(p',r'), \quad \angle(q,r,p)=\angle(q',r',p'), \quad \angle(r,p,q)=\angle(r',p',q')$$
五段公理
度量空间$M$满足五段公理的定义是：对任意点$p,q,r,s,p',q',r',s'$（其中$p \neq q$），只要满足
$$d(p,q) + d(q,r) = d(p,r), \quad d(p',q') + d(q',r') = d(p',r'), $$
$$ d(p,q)=d(p',q'), \quad d(q,r) = d(q',r'), \quad d(p,s)=d(p',s'), \quad d(q,s)=d(q',s'), $$
就必然有$d(r,s) = d(r',s')$。
一些背景和我的思考
- 我知道在塔尔斯基欧氏几何公理体系的其他公理都成立时，五段公理和SAS公设是等价的，但不确定在任意黎曼流形里这个等价性还能不能保持。五段公理的好处是只用度量就能描述，不用先从度量里定义角度（不过一般黎曼流形里其实也能定义角度就是了）。
- 之前有个问题的回答提到，一般黎曼流形不满足SAS公设的主要障碍是度量层面的，不是拓扑层面的，而且SAS公设某种意义上就是在说“空间在每个点、每个方向上看起来都一样”——这和物理里说宇宙各向同性的假设，还有数学上各向同性流形的定义感觉对上了。另外，各向同性流形肯定是齐性流形，但像平坦环面这种齐性但不是各向同性的例子也存在，说明拓扑也会限制各向同性。
- 除了单连通的常曲率空间（这类空间肯定满足SAS公设和五段公理），还有其他各向同性黎曼流形，比如带Fubini-Study度量的复射影空间。我好奇这类空间是不是也满足SAS公设或者五段公理，有没有空间只满足其中一个性质而不满足另一个？
- 塔尔斯基的公理体系用度量来表述介于性和等距性，给出了欧氏空间（甚至希尔伯特空间）很简洁的内禀刻画。根据Nikolaev的结果，一般黎曼流形也有类似的复杂刻画。我现在好奇的是，塔尔斯基的哪些公理只有在欧氏空间里才是“全局”成立的（比如“线段构造”公理要求空间有无限的度量直径，在球面上就不成立，得“无穷小化”之后才能用来刻画连通光滑测地完备的黎曼流形），而SAS公设/五段公理作为“全局”性质，对应的是哪一类黎曼流形。
相关的一些问题（供参考）
- 一般黎曼流形满足SAS（边角边）公设吗？
- 各向同性流形的相关讨论
- 齐性空间和各向同性空间的区别是什么？
- 怎么从希尔伯特公理推导塔尔斯基几何的五段公理？
- 球面或者椭圆几何的塔尔斯基式公理化
- 能不能证明绝对几何一定是在黎曼流形上成立的？
- 黎曼三角形的第三边相关问题
- 有界边长的黎曼三角形的角度界
- 黎曼度量的刻画（MO上的问题）
备注：内容来源于stack exchange，提问作者hasManyStupidQuestions
