关于Bruck-Ryser证明方法的局限性拓展及矩阵规模与性质关联的技术问询

我最近在读Bruck和Ryser那篇篇幅不长的论文《The nonexistence of certain finite projective planes》，里面他们证明了一个核心结论：

如果 $N$ 模4余1或2，且$N$的无平方因子部分中至少包含一个形如$4k+3$的素因子，那么不存在每条线上有$N+1$个点的有限射影平面几何。

他们引入了一些矩阵同余不变量，推导得到了如下恒等式：
$$c_p(B)=(-1,N)_p^{\frac{N(N+1)}{2}}=+1$$
其中$p$是任意奇素数，$B$是某个特定矩阵。而定理中描述的$N$并不满足这个恒等式，这正是射影平面不存在的关键依据。

这里的$c_p$是Hasse-Minkowski不变量，通过Hilbert范数剩余符号$(a,b)_p$定义。

我的问题有两个：

• 这个方法能不能进一步改进，得到更强的结论？我感觉如果巧妙地运用$c_p$和其他不变量，应该能推导出更多类似定理中的存在性限制条件。
• 这是我第一次见到矩阵规模和它的性质之间这种实质性的关联——不是那种“行列式/迹和规模相关”的常规结论，而是类似“如果矩阵$A$具备某类性质，那么它的规模不能是$n$”的论断。有没有其他类似的定理也是基于这种特定的关联？

提前感谢各位的解答！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者augustoperez