巴拿赫空间中闭单位球与闭有界凸集之和的闭性疑问及证明困惑

嘿，我最近看到一个结论：在巴拿赫空间里，闭单位球和闭有界凸集的和不一定是闭集，而且这个反例存在当且仅当空间不是自反的。这可把我惊到了，因为我之前自己证过这个和应该总是闭的，现在有点懵，想跟大家聊聊我的思路哪里出问题了。

我的证明思路是这样的：

假设$A$是闭、有界且凸的集合，那么它和单位球$B$的和$A+B = { x \in V: d(x,A) \le 1}$，这里$d(x,A) = \inf{d(x,a): a \in A}$是点到集合的距离函数。因为点到集合的距离函数是连续的（而且还是凸的），那${ x \in V: d(x,A) \le 1}$就是连续映射下$[0,1]$的原像，所以应该是闭集才对。

我总觉得这个证明里藏着某个不起眼的错误，但就是一时半会儿揪不出来。有没有人之前也琢磨过这个问题呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Daron