关于Regime-Switching耦合Black-Scholes方程无量纲化后无穷远边界条件的疑问

问题背景 #

以下是从S.-P. Zhu等人发表于《Computers and Mathematics with Applications》64卷(2012)的文献中提取的假设与推导：

考虑用于欧式看跌期权定价的 regime-switching 耦合Black-Scholes方程组：

$$
\left{\begin{array}{l}
\frac{\partial V_1}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma_1^2 S^2 \frac{\partial^2 V_1}{\partial S^2}+r S \frac{\partial V_1}{\partial S}-r V_1=\lambda_{12}\left(V_1-V_2\right) \
V_1(0, t)=E e^{-r(T-t)} \
\lim _{S \rightarrow \infty} V_1(S, t)=0 \
V_1(S, T)=\max {E-S, 0}
\end{array}\right.
$$

$$
\left{\begin{array}{l}
\frac{\partial V_2}{\partial t}+\frac{1}{2} \sigma_2^2 S^2 \frac{\partial^2 V_2}{\partial S^2}+r S \frac{\partial V_2}{\partial S}-r V_2=\lambda_{21}\left(V_2-V_1\right) \
V_2(0, t)=E e^{-r(T-t)} \
\lim _{S \rightarrow \infty} V_2(S, t)=0 \
V_2(S, T)=\max {E-S, 0}
\end{array}\right.
$$

其中：

• $S$ 为标的资产价格
• $t$ 为当前时间
• $V_j(S, t)\ (j=1,2)$ 为经济处于状态$j$时的期权价值
• $r$ 为恒定无风险利率
• $E$ 为执行价格
• $T$ 为期权到期时间

引入无量纲变量：
$$
q_j\left(x, \tau_j\right)=\frac{e^x V_j(S, t)}{E}, \quad x=\ln \left(\frac{S}{E}\right), \tau_j=\frac{\sigma_j^2}{2}(T-t)
$$
（$j=1,2$）。除了$q_j$中包含的指数因子外，这种变量替换是期权定价问题中常用的归一化方法；引入指数因子是为了保证$q_j(x,\tau_j)$在傅里叶变换下可积。

代入无量纲变量后，原方程组转化为：

$$
\begin{aligned}
& \left{\begin{array}{l}
-\frac{\partial q_1}{\partial \tau_1}+\frac{\partial^2 q_1}{\partial x^2}+\left(\gamma_1-3\right) \frac{\partial q_1}{\partial x}-\left(2 \gamma_1+\beta_{12}-2\right) q_1=-\beta_{12} q_2 \
\lim {x \rightarrow-\infty} q_1\left(x, \tau_1\right)=0 \
\lim {x \rightarrow \infty} q_1\left(x, \tau_1\right)=0 \
q_1(x, 0)=\left(e^x-e{2 x}\right)^{+}
\end{array}\right. \
& \left{\begin{array}{l}
-\frac{\partial q_2}{\partial \tau_2}+\frac{\partial^2 q_2}{\partial x^2}+\left(\gamma_2-3\right) \frac{\partial q_2}{\partial x}-\left(2 \gamma_2+\beta{21}-2\right) q_2=-\beta{21} q_1 \
\lim _{x \rightarrow-\infty} q_2\left(x, \tau_2\right)=0 \
\lim _{x \rightarrow \infty} q_2\left(x, \tau_2\right)=0 \
q_2(x, 0)=\left(e^x-e{2 x}\right)^{+}
\end{array}\right.
\end{aligned},
$$

其中 $\gamma_j \equiv \frac{2 r}{\sigma_j^2}$，$\beta_{j k} \equiv \frac{2 \lambda_{j k}}{\sigma_j^2}$（$j,k=1,2,\ j\neq k$），分别可视为相对于状态$j$波动率的利率和状态转移率。

用户疑问 #

我理解当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim _{x \rightarrow-\infty} q_1\left(x, \tau_1\right)=\lim _{x \rightarrow-\infty} q_2\left(x, \tau_1\right)=0$，因为：
$$\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{e^x V_j(S, t)}{E}=0$$
但我不清楚，尽管原边界条件是$\lim _{S \rightarrow \infty} V_1(S, t)=\lim _{S \rightarrow \infty} V_2(S, t)=0$，但$q_j$中包含$\frac{e^x}{E}$因子，为什么还能保证$\lim _{x \rightarrow \infty} q_1\left(x, \tau_1\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} q_2\left(x, \tau_1\right)=0$？

解答 #

嘿，这个问题抓得很准！我们来一步步理清楚逻辑：

首先明确变量对应关系：$x = \ln(S/E)$，所以$x\rightarrow\infty$等价于$S\rightarrow\infty$，这时候原边界条件是$V_j(S,t)\rightarrow0$。但$q_j$里的$e^x = S/E$是随$S$增大而增长的，为什么两者相乘后还能趋近于0？

核心原因在于：$V_j(S,t)$趋近于0的速度，比$e^x$增长的速度快得多。

我们从欧式看跌期权的解析性质出发：当标的资产价格$S$远大于执行价$E$时，期权被行权的概率几乎为0，此时$V_j(S,t)$的衰减是高斯型的超指数衰减——从Black-Scholes的解析解可以看到，$V_j$的表达式中包含正态分布的尾部项$N(-d_1)$，而$d_1$与$\ln(S/E)$正相关，$N(-d_1)$的衰减速度是$e^{-C(\ln S)^2}$（$C$为正数），这是一种比任何多项式增长都快的衰减方式。

对比来看：$e^x = S/E = e^{{\ln(S/E)}$是指数增长，但增长的指数是$x$本身；而$V_j(S,t)$是$e}{-Cx^{2}$量级的衰减，当$x\rightarrow\infty$时，$x}2$的增长速度远快于$x$，因此$e^x \cdot V_j(S,t) = e^{x - Cx^{2}$，当$x$足够大时，$-Cx}2$项主导整个指数，结果会迅速趋近于0。

简单来说，$V_j$的衰减势头远远盖过了$e^x$的增长势头，两者相乘后自然还是趋近于0，这就解释了无量纲化后的无穷远边界条件为什么成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Riaz