求解含自身求和依赖项的函数X(P,T)的目标微分形式

嗨，我来帮你一步步梳理怎么解决这个问题！核心思路就是把依赖于dX的dk项代入原微分方程，然后通过整理线性关系，把dX单独解出来，最终得到只含dP和dT的形式。

步骤1：代入已知偏导到原微分方程 #

你已经得到了dX的初始表达式：
$$dX = \frac{\partial X}{\partial P}dP + \frac{\partial X}{\partial T}dT + \frac{\partial X}{\partial k}dk$$
结合已知的偏导关系 $\frac{\partial X}{\partial P}=A\cdot X$、$\frac{\partial X}{\partial T}=B\cdot X$、$\frac{\partial X}{\partial k}=C\cdot X$（这里的$\cdot$是逐元素相乘，因为X、A、B、C都是1-D矩阵/向量），代入后得到：
$$dX = (A \odot X) dP + (B \odot X) dT + (C \odot X) dk$$
（注：$\odot$表示哈达玛积，也就是逐元素对应相乘）

步骤2：替换dk为依赖dX的表达式 #

根据你给出的定义，$k = \sum_{j=1}^N k_j X_j$（k是标量，因为是向量X和常数向量k的点积），所以它的微分是：
$$dk = \sum_{j=1}^N k_j dX_j = k^T dX$$
这里$k^T$是常数向量k的转置（行向量），$dX$是列向量形式的微分。把这个代入上式：
$$dX = (A \odot X) dP + (B \odot X) dT + (C \odot X)(k^T dX)$$

步骤3：整理含dX的项到左侧 #

把右侧最后一项移到左边，将所有dX项合并：
$$dX - (C \odot X)k^T dX = (A \odot X) dP + (B \odot X) dT$$
左侧可以提取dX，写成矩阵乘法的形式：
$$\left(I - (C \odot X)k^T\right) dX = (A \odot X) dP + (B \odot X) dT$$
这里$I$是N×N的单位矩阵，$(C \odot X)k^T$是一个N×N的矩阵（向量$(C \odot X)$和行向量$k^T$的外积）。

步骤4：解出dX的目标形式 #

现在只需要给左侧的矩阵求逆，两边左乘逆矩阵就能得到dX的表达式：
$$dX = \left(I - (C \odot X)k^T\right){-1} (A \odot X) dP + \left(I - (C \odot X)k^T\right){-1} (B \odot X) dT$$

结合你的迭代公式补充说明 #

因为$k = \sum_{j=1}^N k_j X_j$，所以k可以完全用X的元素和常数$k_j$表示，代入后上面的表达式里的所有项都只依赖于P、T和X，正好符合你想要的$dX = f(P,T,X)dP + g(P,T,X)dT$形式：

• $f(P,T,X) = \left(I - (C \odot X)k^T\right){-1} (A \odot X)$
• $g(P,T,X) = \left(I - (C \odot X)k^T\right){-1} (B \odot X)$

如果需要计算具体数值的话，只要代入当前的P、T、X值，先算出k，再构建矩阵求逆，就能得到对应的微分系数啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Joanne