关于实数命题真假判断与戴德金分割上确界证明的疑问

嘿，我最近在梳理实数相关内容时遇到了两个困惑，想跟大家聊聊：

一、关于一个实数命题的真假判断 #

我在一篇讨论“上确界性质证明”的Stack Exchange帖子里，看到了一个需要证明的命题：

存在实数 ( b )，满足 ( b < a ) 且 所有小于 ( b ) 的有理数构成的集合等于 ( A )，其中 ( A ) 是所有小于有理数 ( a ) 的有理数的集合。

我自己琢磨后觉得这个命题是假的，但不确定是不是我想错了，想问问这个命题到底是不是真的？

二、戴德金分割上确界证明中的疑惑 #

我找到了一个网上的上确界性质证明，先提前说明符号：作者用 ⊂ 表示 ⊆（包含于），且字体不同的 ( \mathscr{C} ) 是类，( C ) 是集合。

先列用到的定义 #

戴德金分割的定义

有理数集 ( \Bbb{Q} ) 上的一个分割是一对子集 ( A,B \subseteq \Bbb{Q} )，满足：

• ( A \cup B = \Bbb{Q} )，( A \neq \emptyset )，( B \neq \emptyset )，( A \cap B = \emptyset )
• 若 ( a \in A ) 且 ( b \in B )，则 ( a < b )
• ( A ) 中没有最大元素

分割的序关系

分割 ( x = A|B ) 小于等于分割 ( y = C|D )，当且仅当 ( A \subset C )（这里的 ⊂ 就是包含于的意思）

上确界定理

如果 ( S ) 是实数集 ( \Bbb{R} ) 的非空有上界子集，那么 ( \Bbb{R} ) 中存在 ( S ) 的最小上界。

证明过程与我的疑惑 #

证明过程是这样的：

设 ( \mathscr{C} \subset \Bbb{R} ) 是任意非空有上界的分割集合，它的一个上界是分割 ( X|Y )。定义：
$$C = {a \in \Bbb{Q} : \text{存在某个分割 } A|B \in \mathscr{C}, a \in A}, \quad D = \Bbb{Q} \setminus C$$
作者直接说“显然 ( z = C|D ) 是一个分割”，然后接着证明它是 ( \mathscr{C} ) 的上界，而且是最小的那个上界。

我完全搞不懂为什么作者说“显然 ( z=C|D ) 是一个分割”，这一步对我来说一点都不显然，想弄明白这一步到底怎么推导出来的？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lorilori