傅里叶级数对应初等函数求解及相关等式证明问询

嘿，这个等式的证明其实非常直接，咱们可以借助你已经给出的两个傅里叶展开结论，再结合绝对值函数与符号函数的乘积性质来完成推导，具体步骤如下：

首先，咱们明确要证明的目标等式：
$$
\left(\frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos(2 n x)}{4 n^2 - 1} }\right)\cdot\left(\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin((2 n - 1) x)}{2 n - 1} }\right) = \sin(x)
$$

接下来，你已经给出了两个关键的傅里叶级数展开式：

• 正弦函数绝对值的傅里叶展开：
  $$
  \lvert\sin(x)\rvert = \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\cos(2 n x)}{4 n^2 - 1} }
  $$
• 正弦函数符号函数的傅里叶展开：
  $$
  \DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
  \sgn(\sin(x)) = \frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{\sin((2 n - 1) x)}{2 n - 1} }
  $$

最后，咱们利用一个初等函数的基本性质：对于任意实数$y$，都有$\lvert y\rvert \cdot \sgn(y) = y$。这里咱们令$y = \sin(x)$，就可以得到：
$$
\lvert\sin(x)\rvert \cdot \sgn(\sin(x)) = \sin(x)
$$

现在把前两个傅里叶展开式直接代入这个性质等式的左边，就正好得到咱们要证明的目标等式的左边，而右边就是$\sin(x)$，这样就完成了整个等式的证明啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amin Gholizad