含第一类贝塞尔函数的反常积分等式的严谨证明求助

大家好，我在研究多孔介质相关的流体力学问题时，碰到了一个颇具挑战性的反常积分：

$$
f(r,z,a) = \int_0^\infty \frac{u^2}{\sqrt{u2+a^2}} J_1(ru) e^{-z\sqrt{u2+a^2}} \mathrm{d}u ,
$$

这里的$r$、$z$、$a$都是正实数。从物理层面来说，$a$是衡量多孔介质对流体流动阻力的参数（即不渗透系数）。

通过原问题的另一种不涉及积分变换的解法，我得到了这个积分的结果表达式：

$$
f(r,z,a) = \frac{r(1+aR)}{R^3} e^{-aR} ,
$$

其中$R = \sqrt{r^2+z2}$。

我已经通过数值代入验证了这个表达式的正确性，但完全不知道该如何严谨地证明这个积分等式成立。我试过用贝塞尔函数的泊松表示来推导，但没能得到预期的结果。

如果有人能帮忙理清这个等式的证明思路，我会非常感激！

另外可以很容易验证，当$a=0$的极限情况下，两个表达式的结果完全一致，即：

$$
f(r,z,0) = \frac{r}{\left( r^2+z2\right)^{3/2}} .
$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eulerian