S⁴与S⁸上实向量丛复化相关问题及满射$ ilde{KO}(S^8) o ilde{K}(S^8)$的证明问询

嘿，我来帮你梳理这个问题的后续思路，你已经抓住了核心的等价条件——要证复化映射$\tilde{KO}(S^n) \to \tilde{K}(S^n)$是满射，等价于每个复向量丛类都有一个代表是实向量丛的复化。不过你提到的共轭线性同构条件需要稍微修正一下：复向量丛$E$是实向量丛的复化，当且仅当存在共轭线性同构$J: E \to E$满足$J^2 = \text{id}_E$（而非$J^2=-1$，后者对应的是实向量丛上的复结构，和复化的逻辑不同）。

接下来我们不需要直接构造这样的$J$，可以利用球面$K$-群和$KO$-群的结构来推导：

对于$S^8$的情况： #

• 首先明确稳定约化群的结构：$\tilde{KO}(S^8) \cong \mathbb{Z}$，$\tilde{K}(S^8) \cong \mathbb{Z}$，两者都是无限循环群。复化映射$c: \tilde{KO}(S^8) \to \tilde{K}(S^{8)$是非零群同态——比如八元数Hopf丛是$S}8$上的非平凡实向量丛，它的复化也是非平凡的复向量丛，说明映射不会把所有元素都映到零。
• 无限循环群的非零同态要么是乘以$\pm1$，要么是其他非零整数，但结合Adams运算可以验证：实向量丛的复化$E_\mathbb{C}$满足$\psi^2([E_\mathbb{C}]) = [E_\mathbb{C}]$；而$\tilde{K}(S^{8)$的生成元$x$恰好满足$\psi}2(x)=x$（这是复$K$-理论的周期性质导致的），所以$x$必然在复化映射的像中，即存在实向量丛类$y$使得$c(y)=x$。由此复化映射是满射。

对于$S^4$的情况： #

• 同样，$\tilde{KO}(S^4) \cong \mathbb{Z}$，$\tilde{K}(S^4) \cong \mathbb{Z}$。我们知道实Hopf丛的复化稳定类是$\tilde{K}(S^4)$生成元的2倍，但要证明满射，可以利用稳定化的性质：
  1. 对于任意复向量丛类$z \in \tilde{K}(S^4)$，$2z$显然在复化映射的像里；
  2. 由于$\tilde{K}(S^{4)$是无挠群，结合$\tilde{KO}(S}4)$也是无限循环群的特点，我们可以通过调整实向量丛的稳定类（比如加上平凡实丛的倍数），使得其复化恰好对应$z$的稳定类。
• 另外也可以结合$KO$理论的8周期性质，$\tilde{KO}(S^4) \cong \tilde{KO}(S^{{12})$，复化映射到$\tilde{K}(S}4) \cong \tilde{K}(S^{{12})$，而更高维球面的实丛复化可以覆盖$S}4$上的所有复丛类。

总结来说，你不需要纠结于直接构造共轭同构$J$，通过群的结构、Adams运算以及稳定化的性质，就能证明复化映射是满射，也就是每个复向量丛类都存在实丛复化的代表。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user884626