有理数的单点紧化空间是否为序列空间或弗雷歇-乌里松空间？

咱们先明确讨论的空间：令$X=\mathbb Q^*=\mathbb Q\cup{\infty}$，这是有理数集$\mathbb Q$的单点紧化空间。它的开集分为两类：一类是$\mathbb Q$本身原有的开集，另一类是$X$中所有$\mathbb Q$的闭紧子集的补集。

我没找到这个结论的现成参考文献，但直觉上应该成立：

$X=\mathbb Q^*$是弗雷歇-乌里松空间

换句话说，如果$A\subseteq X$不是闭集，且$x\in\overline{A}\setminus A$，那么一定存在$A$中的序列$(x_n)_{n\in\omega}$收敛到$x$。下面是我整理的半完成证明思路：

这个结论其实挺有意思的，因为拓扑空间里有一串经典的蕴含关系：
第一可数 $\implies$ 弗雷歇-乌里松 $\implies$ 序列空间 $\implies$ 紧生成空间
我们已经知道$X$不是第一可数空间，如果能证明它是弗雷歇-乌里松的，就能直接推出它是紧生成空间（对应维基百科里的定义2）。更有趣的是，乘积空间$\mathbb Q^\times\mathbb Q^$并不是紧生成空间，这样$X$就成了一个绝佳的例子：自身是紧生成空间，但它的平方却不是。

（未完成）证明过程 #

为了书写方便，咱们把$\mathbb Q$记为$Y$。取任意$A\subseteq X$，且$x\in\overline{A}\setminus A$，分两种情况讨论：

情况1：$x\in\mathbb Q$

$\mathbb Q$本身就是$x$的一个开邻域，而$\mathbb Q$是第一可数空间，自然满足弗雷歇-乌里松性质。所以我们能直接找到$A\cap\mathbb Q$中的序列$(x_n)_n$，它会收敛到$x$，这部分的证明很直接。

情况2：$x=\infty$

此时$A$是$\mathbb Q$的子集。根据单点紧化的定义，$\infty\in\overline{A}$等价于：$A$不能被包含在$\mathbb Q$的任何一个紧子集里。

我们的目标是找到$A$中的序列收敛到$\infty$——这里有个关键观察：如果$A$里存在一个无限的、离散的、且在$\mathbb Q$中是闭集的子空间$Z$，那么把$Z$枚举成序列的话，这个序列必然收敛到$\infty$。

所以现在问题就简化成了：

假设$A\subset\mathbb Q$不包含于$\mathbb Q$的任何紧子集，那么$A$中是否一定存在一个无限离散且在$\mathbb Q$中闭的子空间$Z$？

这就是目前卡住的地方，还需要进一步证明这个命题成立。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者PatrickR