关于“恒等态射的拉回本质上是恒等态射”的疑问

嘿，我太懂你的困惑了——当初第一次看到这种说法时，我也对着拉回图盯了好久，那个“basically”简直像在打哈哈，把关键细节都藏起来了！

先给你拆解清楚：你构造的这个拉回图$A \xrightarrow{m} T \xleftarrow{\text{id}_T} T$，它的拉回对象$A \times_T T$其实和$A$是同构的，这才是“本质上是恒等”的核心意思——不是说态射$g$本身就是$\text{id}_A$（毕竟它的源是$A \times_T T$、目标是$A$，字面意义上肯定不是恒等），而是这个拉回对象和$A$在范畴里是完全等价的，$g$就是这个同构的一部分。

具体来说，咱们用拉回的泛性质一步步推：

• 首先，看$A$本身：$\text{id}_A: A \to A$和$m: A \to T$这两个态射，满足$m \circ \text{id}_A = m = \text{id}_T \circ m$，完全符合拉回的“交换条件”。根据拉回的泛性质，必然存在唯一的态射$h: A \to A \times_T T$，使得$g \circ h = \text{id}_A$，同时$f \circ h = m$。这一步就说明$g$有一个右逆$h$。
• 反过来，咱们看$h \circ g$这个态射：它是从$A \times_T T$到自身的。咱们验证一下它满足拉回的交换条件：
  • $g \circ (h \circ g) = (g \circ h) \circ g = \text{id}_A \circ g = g$
  • $f \circ (h \circ g) = (f \circ h) \circ g = m \circ g = f$（因为拉回的定义里本来就有$m \circ g = \text{id}T \circ f = f$）
    而拉回对象上的恒等态射$\text{id}{A \times_T T}$也满足同样的条件：$g \circ \text{id} = g$，$f \circ \text{id} = f$。根据拉回泛性质里的唯一性，$h \circ g$必须等于$\text{id}_{A \times_T T}$。

这就说明$h$和$g$是互逆的同构！也就是说$A \times_T T \cong A$——在范畴论里，同构的对象我们就认为是“本质上相同”的，所以在这个意义下，$g$就相当于“本质上的恒等态射”，这就是那个含糊的“basically”想表达的意思。

回到你最初的场景——子对象分类器的定义域是终对象的证明里，这个同构的结论非常关键：它告诉我们，拉回一个恒等态射不会改变原对象的核心结构，只是换了个包装而已，这也是为什么我们能把这个拉回对象当成原对象来用的原因。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jos van Nieuwman