关于接近有理数的点及集合$S_{N,\varepsilon}$、$T_{N,\varepsilon}$的勒贝格测度的技术问询

嘿，你这个问题抓得很准——把$S_{N,\varepsilon}$转化为和分数部分相关的$T_{N,\varepsilon}$这一步非常关键，毕竟$\sin(\pi nx)$的绝对值很小，本质就是$nx$离整数很近，也就是${nx}$接近0或者1（不过你定义的$T_{N,\varepsilon}$只聚焦了接近0的情况）。下面我来拆解一下这个问题的核心内容：

1. 基础集合与单个测度计算 #

首先，我们把$T_{N,\varepsilon}$拆成单个事件的并集：对每个$1 \leq n \leq N$，定义$A_n = {x \in [0,1] : {nx} < \varepsilon}$，那么$T_{N,\varepsilon} = \bigcup_{n=1}^N A_n$。

单个$A_n$的测度很好算：${nx} < \varepsilon$意味着$x$落在$n$个互不重叠的区间$[k/n, (k+\varepsilon)/n)$（$k=0,1,...,n-1$）里，每个区间长度是$\varepsilon/n$，总长度就是$n \times \varepsilon/n = \varepsilon$，也就是$m(A_n) = \varepsilon$，对任意$n$都成立。

2. 容斥原理与交集测度 #

要算并集的测度，就得用容斥原理展开：
$$
m(T_{N,\varepsilon}) = \sum_{k=1}^N (-1)^{k+1} \sum_{1 \leq n_1 < n_2 < ... < n_k \leq N} m(A_{n_1} \cap ... \cap A_{n_k})
$$

这里的难点是计算多个$A_n$的交集测度。举个简单例子：$A_2$和$A_4$的交集，$\gcd(2,4)=2$，它们的交集是$[0, \varepsilon/4) \cup [1/2, 1/2+\varepsilon/4)$，总长度是$\varepsilon/2$——这说明当$n_1,n_2$不互质时，交集测度不是$\varepsilon^2$，而是和它们的最大公约数有关。

一般来说，对于$k$个整数$n_1,...,n_k$，设$d = \gcd(n_1,...,n_k)$，当$\varepsilon$足够小（比如$\varepsilon < 1/\max(n_1,...,n_k)$），交集$A_{n_1} \cap ... \cap A_{n_k}$的测度是$d \times \varepsilon / \text{lcm}(n_1,...,n_k) \times \text{某个和互质性相关的系数}$，不过这个计算会随着$k$增大变得非常繁琐。

3. 渐近行为（$N \to \infty$） #

你已经知道当$N$增大时，测度趋近于1——这其实和Dirichlet逼近定理呼应：每个无理数$x$都有无穷多个$n$使得${nx} < 1/n$，所以当$N$足够大，几乎所有$x$都会落在某个$A_n$里。

更具体的渐近速度是指数级收敛到1：存在一个和$\varepsilon$相关的常数$c(\varepsilon) > 0$，使得
$$
m([0,1] \setminus T_{N,\varepsilon}) = O(e^{-c(\varepsilon) N})
$$
当$\varepsilon$很小时，$c(\varepsilon)$大约是$\varepsilon / \zeta(2)$（$\zeta(2)=\pi^2/6$是黎曼zeta函数在2处的值）。

4. $S_{N,\varepsilon}$与$T_{N,\varepsilon}$的关联 #

别忘了你最开始的集合$S_{N,\varepsilon}$：$|\sin(\pi nx)| < \varepsilon$等价于${nx} \in [0, \delta) \cup (1-\delta, 1]$，其中$\delta = \frac{1}{\pi}\arcsin\varepsilon$（当$\varepsilon$很小时，$\delta \approx \varepsilon/\pi$）。

所以$S_{N,\varepsilon} = T_{N,\delta} \cup (1-T_{N,\delta})$，其中$1-T_{N,\delta}$是$T_{N,\delta}$关于$1/2$对称的集合。当$\delta < 1/2$时，两个集合的交集非常小，所以$m(S_{N,\varepsilon}) \approx 2m(T_{N,\delta})$。

补充参考方向 #

这个问题属于测度丢番图逼近的经典范畴，如果你想深挖精确表达式或更细致的渐近结果，可以参考Kuipers和Niederreiter的《Uniform Distribution of Sequences》，里面有关于分数部分序列分布和相关集合测度的详细推导。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user479223