关于从[0,1]到(0,1)的满射函数间断点存在性的证明问询

嗨，我来帮你理清这个问题的思路，其实用反证法+连续函数的核心性质就能轻松解决啦～

首先先明确问题的核心矛盾点：我们假设$f$是连续的，然后推出和“满射”矛盾的结论，就能证明$f$必须存在间断点。

具体步骤如下：

• 先回忆闭区间上连续函数的极值定理：如果函数$f:[0,1]\to\mathbb{R}$是连续的，那么它一定能在$[0,1]$上取到最大值和最小值。也就是说，存在$x_{\text{max}}, x_{\text{min}} \in [0,1]$，使得$f(x_{\text{max}}) = \sup_{x\in[0,1]} f(x)$，$f(x_{\text{min}}) = \inf_{x\in[0,1]} f(x)$。
• 因为$f$的 codomain 是$(0,1)$，所以$f(x_{\text{max}}) < 1$，$f(x_{\text{min}}) > 0$。这时候$f$的值域就是闭区间$[f(x_{\text{min}}), f(x_{\text{max}})]$，这显然是$(0,1)$的一个真子集——比如区间$(0, f(x_{\text{min}}))$里的所有数，都没有被$f$映射到。
• 但题目里明确说$f$是满射的，也就是$f$的值域必须等于整个$(0,1)$，这就和上面的结论矛盾了。

所以我们一开始假设“$f$是连续的”不成立，因此$f$至少有一个间断点。

你一开始想到“满射意味着codomain的所有元素都被映射到”这个方向完全正确，只是需要结合连续函数在闭区间上的值域必然是闭区间（或单点）这个关键性质，就能推出矛盾啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ellie_Wong