多项式重数在坐标变换下的不变性证明求助及概念直觉解惑
我现在在下面这个定义和习题上卡壳了，想请大家帮忙看看：
重数的定义
设 $f\in k[x,y]$，$p = (a,b)\in \mathbb A^2(k)$，将 $f$ 展开为齐次多项式的和：
$$f= f_0+\dots +f_{\deg f}$$
其中每个齐次分量 $f_i$ 的形式是：
$$f_i =\sum_{\alpha +\beta =i} \lambda_{\alpha,\beta}(x-a)^\alpha (y-b)^\beta.$$
那么 $f$ 在点 $p$ 处的重数定义为：
$$m_p(f) := \min {i: f_i\neq 0}.$$
待解习题
设 $\psi:\mathbb A^2(k)\to \mathbb A^2(k)$ 是一个坐标变换，它的分量是带常数项 $(a,b)$ 的线性式。令 $P=(0,0)$，$f\in k[x,y]$ 是一个非常数多项式，证明：
$$m_P(f\circ \psi) = m_{\psi(P)}(f).$$
我的尝试
（设 $d=\deg (f)$）
先把 $f$ 写成齐次分量的和：$f= \sum_{i=1}^d f_i$，其中 $f_i = \sum_{\alpha+\beta =i} \lambda_{\alpha,\beta}x^\alpha y^\beta$，那么复合后的多项式：
$$f\circ \psi = \sum_{i=1}^d f_i\circ \psi$$
而每个 $f_i\circ\psi$ 是：
$$f_i\circ\psi = \sum_{\alpha+\beta =i} \lambda_{\alpha,\beta}(cx+dy+a)^\alpha (ex+gy+b)^\beta.$$
写到这里我就不知道怎么继续变形，通过定义得到想要的结论了。
另外我也想了解一下重数这个概念的直觉，感觉当我们关注的点变化时，多项式好像也跟着变了，但它应该在坐标变换下是不变的，这点我有点懵。
解答与解惑
证明过程
首先先明确两个关键前提：
- 坐标变换 $\psi$ 是可逆线性变换加上平移，也就是 $\psi(x,y) = (c x + d y + a, e x + g y + b)$，其中矩阵 $\begin{pmatrix}c&d\e&g\end{pmatrix}$ 是可逆的（因为坐标变换必须是双射，保证平面上的点一一对应）。
- 先计算 $\psi(P)$：因为 $P=(0,0)$，所以 $\psi(P)=(a,b)$，我们要证的其实是 $m_{(0,0)}(f\circ\psi) = m_{(a,b)}(f)$。
按照重数的定义，$m_{(a,b)}(f)$ 是 $f$ 在 $(a,b)$ 处展开时，最低次非零齐次分量的次数，记这个次数为 $m$，那 $f$ 可以写成：
$$f(X,Y) = \sum_{k=m}^{\deg f} f_k(X-a, Y-b)$$
其中 $f_m$ 是非零的 $m$ 次齐次多项式，而所有 $k<m$ 的 $f_k$ 全为0。
现在把 $X = \psi_1(x,y) = a + c x + d y$，$Y = \psi_2(x,y) = b + e x + g y$ 代入上式，得到复合多项式：
$$f\circ\psi(x,y) = \sum_{k=m}^{\deg f} f_k\left(c x + d y, e x + g y\right)$$
重点看最低次项 $k=m$ 的部分：$f_m(c x + d y, e x + g y)$。因为 $f_m$ 是 $m$ 次齐次多项式，而线性变换 $\begin{pmatrix}x\y\end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix}c x + d y\e x + g y\end{pmatrix}$ 是可逆的，这个变换作用在非零齐次多项式上，结果依然是非零的 $m$ 次齐次多项式（简单来说，可逆线性变换不会把非零的齐次项“消掉”，就像你把坐标轴旋转，原来的二次曲线不会变成零）。
而对于 $k<m$ 的项，因为原来的 $f_k=0$，所以对应的项全为0。因此，$f\circ\psi$ 在 $(0,0)$ 处展开的最低次非零项的次数就是 $m$，也就是：
$$m_{(0,0)}(f\circ\psi) = m = m_{(a,b)}(f) = m_{\psi(P)}(f)$$
这样就完成了证明。
重数的直觉理解
- 本质是“消失的程度”：重数描述的是多项式在某点附近和零点的贴合紧密程度。比如：
- 重数1：多项式在该点刚好取0，但一阶偏导数不全为0（相当于直线穿过点，没有相切）；
- 重数2：多项式在该点取0，且所有一阶偏导数都为0（相当于曲线和该点相切，比如抛物线在顶点处的重数就是2）；
- 重数越高，多项式在该点附近“贴”得越紧，甚至可以理解为“多次穿过”同一点。
- 坐标变换下的不变性：坐标变换就是把整个平面做平移、旋转或拉伸，就像你把一张画着曲线的纸移动一下，曲线上某点的“贴合程度”不会因为纸的移动而改变。重数是多项式在点处的内在性质，和你用什么坐标系观察无关。
- 你觉得“多项式跟着点变”，其实是因为展开时用的局部坐标变了：在不同点展开多项式，是把它写成关于该点的偏移量的多项式，但多项式本身还是同一个，只是观察的视角变了，坐标变换就是把这个视角转换回来，所以重数这个内在性质保持不变。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1181923
