单位元C*代数的单位元C*子代数是否同单位元？及教材相关证明步骤的困惑

嘿，我太懂这种困惑了！当初学C*代数看Murphy这本书的时候，我也卡在了这个点上！咱们一步步拆解这段话的逻辑，你就明白了：

首先得回忆C代数里的单位化操作：任何没有单位的C代数，都可以通过添加一个外部单位元变成有单位的版本（记为$\tilde{B}$或$\tilde{A}$）；如果原代数本身就有单位，那它的单位化就是自己。

Murphy说的“必要时把B换成$\tilde{B}$，A换成$\tilde{A}$，就能假设A的单位元1在B里”，核心是做问题归约——把复杂的情况转化为简单的“有共同单位”场景，解决后再把结果拉回原问题，具体分两种情况说：

• 情况1：B本身没有单位元
  这时候我们把B单位化成$\tilde{B}$（添加单位元1_B），同时把A单位化成$\tilde{A}$（添加单位元1_A）。我们可以把$\tilde{B}$自然嵌入到$\tilde{A}$中：$\tilde{B}$里的元素$b + \lambda 1_B$直接对应$\tilde{A}$里的$b + \lambda 1_A$，这样$\tilde{A}$的单位元1_A就属于$\tilde{B}$了。
  原B上的正线性泛函$\phi$，可以延拓成$\tilde{B}$上的正线性泛函$\tilde{\phi}$（标准操作：$\tilde{\phi}(b + \lambda 1_A) = \phi(b) + \lambda |\phi|$，这个延拓完全保持正性）。接着我们在$\tilde{A}$和$\tilde{B}$的场景下证明$\tilde{\phi}$可以延拓到$\tilde{A}$上，最后把延拓后的泛函限制回原A，就得到了原$\phi$在A上的延拓——因为对任意$b \in B$，泛函值还是$\phi(b)$，完全符合要求。

• 情况2：B有单位元，但和A的单位元不一样（比如你举的投影p生成B的例子）
  这时候你可能会疑惑：B已经有单位p了，单位化就是自己，怎么让A的单位1进B里？其实这里的关键是，我们不需要让1真的在原B里，而是可以把问题转化到包含原B和1的更大C子代数上，或者利用单位化的逻辑，把泛函延拓问题统一到“有共同单位”的框架里处理。
  比如你说的例子：B是A中投影p生成的C子代数，p是B的单位，A的单位是1≠p。我们可以先把原B上的正泛函$\phi$延拓到由B和1生成的C*子代数C上（C的单位是1），再用Hahn-Banach把这个延拓后的泛函推广到整个A上。Murphy说的“替换”，其实是把这种情况也归到“有共同单位”的场景中，这样后面的证明就不用反复切换不同单位的情况，简化了步骤。

本质上，这种操作不是说原代数一定满足“单位元在子代数里”，而是通过单位化或构造包含共同单位的子代数，把所有复杂情况都转化为最容易证明的场景——这在泛函分析里非常常见，目的是避免分太多琐碎的情况，让证明更简洁。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者abbaaaa