求解常微分方程$(x^2-y^2+y)dx+x(2y-1)dy=0$的方法求助
嘿，我来帮你梳理下这个问题的解法～你之前做变量替换的思路没问题，不过咱们可以换个更直接的路子，用积分因子来解，当然也可以接着你的变量替换往下推，我都给你说说：
方法一：积分因子法（更简便）
首先把原方程写成标准的$Mdx + Ndy=0$形式：
$$M = x^2 - y^2 + y,\quad N = x(2y-1)$$
先检查是否为全微分：计算偏导数
$$\frac{\partial M}{\partial y} = -2y + 1,\quad \frac{\partial N}{\partial x} = 2y -1$$
发现$\frac{\partial M}{\partial y} = -\frac{\partial N}{\partial x}$，说明它不是全微分，但我们可以找积分因子。计算积分因子的判别式：
$$\frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} = \frac{(-2y+1)-(2y-1)}{x(2y-1)} = \frac{-4y+2}{x(2y-1)} = -\frac{2}{x}$$
这是只关于$x$的函数，所以积分因子$\mu(x) = e^{\int -\frac{2}{x}dx} = \frac{1}{x^2}$
把原方程两边乘以$\frac{1}{x^2}$，得到：
$$\left(1 - \frac{y2}{x2} + \frac{y}{x^2}\right)dx + \left(\frac{2y}{x} - \frac{1}{x}\right)dy = 0$$
现在这就是全微分方程了，我们找原函数$U(x,y)$满足：
$$\frac{\partial U}{\partial x} = 1 - \frac{y2}{x2} + \frac{y}{x^2},\quad \frac{\partial U}{\partial y} = \frac{2y}{x} - \frac{1}{x}$$
先对$x$积分：
$$U(x,y) = \int \left(1 - \frac{y2}{x2} + \frac{y}{x^2}\right)dx = x + \frac{y^2}{x} - \frac{y}{x} + \varphi(y)$$
再对$y$求偏导，和已知的$\frac{\partial U}{\partial y}$对比，可得$\varphi'(y)=0$，即$\varphi(y)$是常数。
所以原方程的通解为：
$$x + \frac{y^2 - y}{x} = C$$
两边乘$x$整理后：
$$x^2 + y^2 - y = Cx$$
也可以写成圆的标准形式：$\left(x - \frac{C}{2}\right)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = \frac{C^2 + 1}{4}$
方法二：接着你的变量替换往下推
你已经得到了：
$$t^3 + yt^2t' + t - yt' + t' = 0$$
先整理含$t'$的项：
$$t'(yt^2 - y + 1) = -t(t^2 + 1)$$
把$t = \frac{x}{y}$即$y = \frac{x}{t}$代入，不过更直接的是分离变量：
$$\frac{dy}{y(t^2 - 1) + 1} = -\frac{dt}{t(t^2 + 1)}$$
先算右边的积分，用部分分式分解$\frac{1}{t(t^2+1)} = \frac{1}{t} - \frac{t}{t^2+1}$，积分得：
$$\int -\frac{dt}{t(t^2+1)} = -\ln|t| + \frac{1}{2}\ln(t^2+1) + C_1 = \ln\left|\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}\right| + C_1$$
左边的积分如果继续用$t$作为变量会绕回复杂的关系，不如积分因子法来得高效，所以优先推荐第一种方法哦～
总之，用积分因子法能更直接得到通解，希望能帮到你！
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ychen
