同调环同构但同伦不等价的空间：关于X与Y的上同调及同伦性的技术问询

我现在在研究两个拓扑空间的上同调与同伦性质，具体定义如下：

• $X=\left(\mathbb{C} P^{\infty} \times S^{1}\right) /\left(\left{x_{0}\right} \times S^{{1}\right)$：也就是将$\mathbb{C}P}\infty \times S^{1$中某个固定点$x_0$对应的整个$S}1$子空间捏合成一个点得到的商空间
• $Y=\mathbb{C} P^{\infty} \times S^{{3}$：$\mathbb{C}P}\infty$与3维球面的乘积空间

我的目标是证明：这两个空间的上同调环是同构的，但它们本身并不同伦等价。

Y的上同调环计算 #

Y的上同调环计算相对直接，利用乘积空间的上同调Künneth公式就能得到：
$$ H^(Y;\mathbb{Z}/2)\cong H^(\mathbb{C} P^\infty;\mathbb{Z}/2)\otimes_{\mathbb{Z}/2} H^*(S3;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2[x]\otimes_{\mathbb{Z}/2}\mathbb{Z}/2[y]/(y^2)\cong \mathbb{Z}/2[x,y]/(y^2)$$
这里的$x$是$H^{2(\mathbb{C}P}\infty;\mathbb{Z}/2)$的生成元（次数为2），$y$是$H^3(S3;\mathbb{Z}/2)$的生成元（次数为3）。

X的上同调环计算与疑问 #

我一开始尝试通过纤维化序列来计算X的上同调，写出了这样的序列：
$$ *\to X\to\mathbb{C}P^\infty$$

问题1：这个纤维化序列真的成立吗？ #

基于这个序列，我推导了Serre谱序列的$E_2$页：
$$ E_2^{ij}=\begin{cases}\mathbb{Z}/2,& j=0,i=2k\ 0,&\text{otherwise}\end{cases}$$
我当时认为所有微分都是平凡的，因此$E_2=E_\infty$，进而得到$H^*(X;\mathbb{Z}/2)\cong\mathbb{Z}/2[x]$——但这个结果明显和Y的上同调环不同构，说明我的推导肯定哪里出了问题。

问题2：X的上同调环结构到底是正确的吗？ #

显然我之前的计算有误，那X的上同调环应该是什么样的？怎么正确推导它？

问题3：如何证明X与Y不同伦等价？ #

假设我已经成功证明了两个空间的上同调环是同构的，接下来该用什么方法证明它们不是同伦等价的？

补充修正（基于他人提示） #

后来根据提示，我意识到之前写的纤维化序列是完全错误的。有资料建议我考虑这样的映射：先看投影$\pi\colon \mathbb{C}P^\infty\times S^{1\to\mathbb{C}P}\infty$，将它延拓到包含映射$i\colon {x_0}\times S^{1\to\mathbb{C}P}\infty\times S^1$的映射锥$Ci$上，得到映射$p\colon Ci\to\mathbb{C} P^{\infty$（而X其实就是这个映射锥$Ci$），然后研究这个映射$p$的同伦纤维。资料里说这个同伦纤维同伦等价于$S}3$，但我完全搞不懂这个结论是怎么推导出来的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者14159