关于Schröder-Bernstein定理证明大纲(e)部分的两处疑问

我见过很多广为人知的Schröder–Bernstein定理的证明，但有一个特定的证明大纲引起了我的兴趣。我所使用的Schröder–Bernstein定理版本是：

假设存在单射函数 $f : X → Y$ 和另一个单射函数 $g : Y → X$，则存在双射函数 $h : X → Y$。

证明大纲 #

(a) 逆函数的定义 #

$f$ 的值域定义为 $f(X) = {y\in Y:y=f(x) \text{ 对某个 } x ∈ X}$。任取 $y ∈ f(X)$（因为 $f$ 不一定是满射，值域 $f(X)$ 可能不是整个 $Y$），解释为何存在唯一的 $x ∈ X$ 使得 $f(x) = y$。定义 $f^{−1}(y) = x$，并证明 $f^{−1}$ 是从 $f(X)$ 到 $X$ 的单射函数。类似地，我们可以定义单射函数 $g^{−1} : g(Y) → Y$。

(b) 元素链的构造 #

任取 $x ∈ X$，链 $C_x$ 是由所有形如以下的元素组成的集合：
$$... ,f ^{−1}(g{−1}(x)), g^{−1}(x), x, f(x), g(f(x)), f(g(f(x))),... .$$
解释为何上述链中 $x$ 左侧的元素个数可以是0、有限或无限。

(c) 链的不交性或同一性 #

证明任意两条链要么完全相同，要么完全不相交。

(d) 链的分类 #

注意(1)中的链元素在 $X$ 和 $Y$ 之间交替出现。给定链 $C_x$，我们关注 $C_x ∩ Y$，即链中属于 $Y$ 的部分。定义集合 $A$ 为所有满足 $C_x ∩ Y ⊆ f(X)$ 的链 $C_x$ 的并集。令 $B$ 为不在 $A$ 中的剩余链的并集。证明 $B$ 中包含的任意链一定形如 $y, g(y), f(g(y)), g(f(g(y))),...$，其中 $y$ 是 $Y$ 中不属于 $f(X)$ 的元素。

(e) 双射的构造 #

令 $X_1 = A ∩ X, X_2 = B ∩ X, Y_1 = A ∩ Y ,$ 且 $Y_2 = B ∩ Y$。证明 $f$ 将 $X_1$ 满射到 $Y_1$，且 $g$ 将 $Y_2$ 满射到 $X_2$。利用这些信息证明存在从 $X$ 到 $Y$ 的双射。

我的进展与疑问 #

我已经解决了(a)(b)(c)部分的结论。

已解决问题（Problem 1） #

关于这个问题，我现在已经没有疑问了，请查看未解决的问题，即 $\color{green}{\text{Problem 2 (Unsolved)}}$。

我的问题最初出在(d)部分，但现在更关注(e)部分的两处困惑：

未解决问题（Problem 2） #

(e)部分的官方证明如下：

注意 $Y_1\subseteq f(X)$。要证明 $f : X_1\to Y_1$ 是满射，我们取 $y_1\in Y_1$，证明存在 $x_1 \in X_1$ 使得 $f(x_1) = y_1$。因为 $y_1\in Y_1$，我们知道存在 $x_1\in X$ 使得 $f(x_1) = y_1$。但我们必须确保 $x_1\in X_1$。然而，$C_{x_1}$ 包含 $y_1$，而 $y_1$ 属于 $A$ 中的某个链。由于相交的链一定相同，所以 $C_{x_1}\subset A$，因此 $x_1\in X_1$。

接下来证明 $g : Y_2\to X_2$ 是满射。为此，取 $x_2\in X_2$，证明存在 $y_2\in Y_2$ 使得 $g(y_2) = x_2$。因为 $x_2\in X_2\subset g(Y )$，我们知道存在 $y_2\in Y$ 使得 $g(y_2) = x_2$。现在需要证明 $y_2\in B$，因为如果 $y_2 \in Y$ 且 $y_2\in B$，则 $y_2\in B \cap Y = Y_2$。我们知道 $C_{x_2}$ 包含 $y_2$，而 $y_2$ 属于 $B$ 中的某个链。由于相交的链一定相同，$C_{x_2} \subset B$，所以 $y_2 \in B$，因此 $y_2 \in Y_2$。

最后，为了证明 $X$ 和 $Y$ 之间存在双射，定义 $h : X\to Y$ 如下：
$$h(x) =
\begin{cases}
f(x) & \text{若 } x\in X_1 \
g^{-1}(x) & \text{若 } x\in X_2
\end{cases}$$
因为 $X = X_1\cup X_2$，且 $f$ 和 $g^{-1}$ 在各自的定义域上是单射且值域不相交，所以 $h$ 是单射。又因为 $Y = Y_1\cup Y_2$，且 $f$ 和 $g^{-1}$ 分别是满射，所以 $h$ 是满射。因此 $h$ 是双射。

但我有两处困惑：

• (i) 在证明 $f:X_1\to Y_1$ 的部分，他们怎么能确定对所有 $x\in X_1$，$f(x)\in Y_1$？我知道 $Y_1\subset f(X)$，但在此之前从未证明过 $Y_1=f(X)$，会不会存在某个 $x\in X_1$ 使得 $f(x)\in f(X)-Y_1$？
• (ii) 在证明 $g:Y_2\to X_2$ 的部分，我有和(i)一样的疑问：怎么确定对所有 $y\in Y_2$，$g(y)\in X_2$？我知道 $X_2\subset g(Y_2)$，但在此之前从未证明过 $X_2=g(Y_2)$，会不会存在某个 $y\in Y_2$ 使得 $g(y)\in g(Y_2)-X_2$？

希望能得到相关的澄清。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Finley