关于模的根（Rad）包含关系的证明疑问

嘿，我来帮你理顺这个证明的逻辑，你已经找对了核心工具（对应定理），咱们把思路掰碎了说清楚：

首先先明确已知和目标：

已知 $N \leq M$ 且 $Rad(M/N)={ 0}$，要证 $Rad(M)\subseteq N$。

先回顾模的根的定义：任意模$X$的根$Rad(X)$是**$X$所有极大子模的交集**，也就是你写的：
$$Rad(X) = \bigcap{T\leq X;|;X/T \text{ 是单模}}$$
所以题目里的$Rad(M/N)={0}$，翻译过来就是：$M/N$的所有极大子模交在一起，结果是$M/N$的零子模。

接下来要用到模的对应定理（这是连接$M$和$M/N$子模关系的关键）：

• $M$中所有包含$N$的子模，和$M/N$的所有子模是一一对应的，对应规则是：$K \mapsto K/N$（其中$K$是$M$里包含$N$的子模）。
• 更进一步：$K$是$M$的极大子模，当且仅当$K/N$是$M/N$的极大子模。

现在咱们用反证法来证结论会更清晰：
假设存在$x \in Rad(M)$但$x \notin N$，那么$x + N$是$M/N$里的非零元素。
因为$Rad(M/N)={0}$，而根是所有极大子模的交，所以这个非零元素$x + N$不可能在所有$M/N$的极大子模里——否则所有极大子模的交就会包含$x + N$，就不等于${0}$了。
也就是说，存在某个$M/N$的极大子模$T$，使得$x + N \notin T$。

根据对应定理，$T = K/N$，其中$K$是$M$里包含$N$的极大子模。那$x + N \notin K/N$就等价于$x \notin K$。
但这就矛盾了：因为$x \in Rad(M)$，而$Rad(M)$是$M$所有极大子模的交集，$x$必须在每一个极大子模里，包括$K$。

所以假设不成立，所有$Rad(M)$里的元素都必须在$N$中，也就是$Rad(M)\subseteq N$。

最后回下你刚才的思路误区：你提到“${0} \in {T\leq M/N;|;(M/N)/T \text{ 是单模}}$”，这个是不对的哦——${0}$属于这个集合的前提是$(M/N)/{0} \cong M/N$是单模，但题目里只说$Rad(M/N)={0}$，没说$M/N$是单模（比如$M/N$可以是半单模，它的根就是零，但不一定是单模），所以不能从这个角度切入。你想到用对应定理是对的，只是需要结合根的定义和反证法来把逻辑串起来。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者George