H¹(Ω)范数下解u到其最佳逼近u^(k)的收敛性证明求助

嘿，我来帮你把这个证明的思路补全——你已经找对了核心的方向：利用$H^{2(\Omega)$在$H}1(\Omega)$中的稠密性，接下来只需要把稠密性和有限元加密的误差估计结合起来就行，咱们一步步拆解：

首先先修正你表述里的小疏漏：稠密性的准确说法是存在序列${v_j}\subset H^{2(\Omega)$，使得当$j\to\infty$时，$|u-v_j|_{H}1(\Omega)}\to0$，而不是等于0哦。

接下来我们用三角不等式和最佳逼近的性质来拆分误差：
对于任意固定的$j$，根据三角不等式：
$$|u - u^{(k)}|_{H1(\Omega)} \leq |u - v_j|{H^1(\Omega)} + |v_j - u^{(k)}|_{H1(\Omega)}$$
又因为$u^{{(k)}$是$u$在$\mathcal{P}_k}1$中的最佳H¹逼近，所以对任意$w\in\mathcal{P}k^1$，都有$|u - u^{(k)}|_{H1} \leq |u - w|{H^1}$。这里我们取$w = v_j^{{(k)}$（$v_j$在$\mathcal{P}_k}1$中的最佳H¹逼近），代入后可以把上面的不等式进一步收紧为：
$$|u - u^{(k)}|_{H1(\Omega)} \leq |u - v_j|{H^1(\Omega)} + |v_j - v_j^{(k)}|_{H1(\Omega)}$$

现在我们分别控制右边的两项：

1. 第一项$|u - v_j|{H^{1(\Omega)}$：根据$H}2(\Omega)$在$H^1(\Omega)$中的稠密性，对于任意给定的$\epsilon>0$，我们总能找到足够大的$j$，使得$|u - v_j|{H^1(\Omega)} < \frac{\epsilon}{2}$。

2. 第二项$|v_j - v_j^{(k)}|_{H1(\Omega)}$：因为$v_j\in H^2(\Omega)$，对于标准加密的正则三角剖分，有限元分析中有经典的H¹误差估计：存在不依赖于$k$和$v_j$的常数$C$，使得$v_j$的分片线性插值$I_k v_j$满足
   $$|v_j - I_k v_j|{H^1(\Omega)} \leq C h_k |v_j|{H^2(\Omega)}$$
   其中$h_k$是$\mathcal{T}_k$中单元的最大直径。而标准加密下，每次剖分都会把每个三角形拆成4个更小的三角形，$h_k$会以几何速率趋于0（即$k\to\infty$时$h_k\to0$）。

   又因为$v_j^{(k)}$是$v_j$的最佳逼近，它的误差不会比插值误差大，即$|v_j - v_j^{(k)}|_{H1(\Omega)} \leq |v_j - I_k v_j|{H^1(\Omega)}$，所以：
   $$|v_j - v_j^{(k)}|_{H1(\Omega)} \leq C h_k |v_j|{H^2(\Omega)}$$
   对于刚才固定的$j$，$|v_j|{H^2(\Omega)}$是一个常数，所以当$k$足够大时，$C h_k |v_j|{H^2(\Omega)} < \frac{\epsilon}{2}$。

最后把两项结合起来：当$k$足够大时，
$$|u - u^{(k)}|_{H1(\Omega)} < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$
根据收敛的定义，就有$|u-u^{(k)}|_{H1(\Omega)}\longrightarrow 0$当$k\to\infty$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ray Romero