组合分析中获奖可能性计数问题的解法疑问

嘿，我来帮你理清楚你哪里错了～

首先，你最大的问题是误解了题目的获奖条件，咱们再仔细读一遍题目：

One student will be drawn from each class. Then, those drawn with an average greater than 9 will be awarded. (That is, if the draw did not have a score greater than 9, the class will not have any winners.)

这里的核心是“三个被抽中学生的平均分大于9”才会触发获奖，括号里的解释其实是补充说明：如果这个抽取组的平均分不大于9，那么没有任何班级会有获奖者（也就是三个学生都不获奖）。

你的错误在于，你把“至少有一个被抽中学生分数>9”的所有情况都算成了获奖情况，但这两个条件完全不等价：

• 比如，假设抽中的三个学生分数是10、5、5，平均分约6.67，远小于9，这种情况虽然有一个学生分数>9，但根本不满足获奖条件；
• 再比如，两个学生分数10，一个学生分数7，平均分刚好是9，也不满足“大于9”的要求，同样不获奖。

只有当三个学生的分数总和严格大于27（因为平均分>9等价于总分>3×9=27）时，才算有效的获奖情况。而且结合题目给出的班级人数描述，其实隐含了一个前提：每个班级里的学生都是分数大于9的（不然题目不会只给出班级总人数，却不说明分数分布）。如果是这样的话，任意抽取三个学生的平均分肯定都大于9，所以获奖的可能性就是所有抽取的组合数：25 * 30 * 35。你额外加上的“只有两个或一个学生分数>9”的情况，在题目设定里根本不存在——因为每个班的学生分数都>9，不可能抽到分数≤9的学生，所以这些情况是无效的，不能加进去。

总结一下：你错误地扩大了获奖情况的范围，把不满足“平均分>9”的情况也算了进去，同时还假设了不存在的“分数≤9的学生”，导致结果出错。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ramon Jales