关于$L^2(0,\infty)$中带权-$L^1$可求和完备正交基的存在性问询

最近我在做研究的时候碰到了这么一个问题：

给定某个$a>0$，是否存在$L^2(0,\infty)$的一个完备正交系$(f_n){n \in \mathbb{N}}$，使得$\sum{n=1}^\infty \lVert f_n e^{-a \cdot}\rVert_{L^1(0,\infty)} < \infty$？

我完全拿不准这个命题是对是错，但如果它成立的话，对我当前的研究帮助会很大。我试着构造这样的序列，但至今没什么进展。最容易验证的情况大概是先找到一个对$a=0$成立的序列——也就是$L^1$-范数可求和的正交基，但这显然比我需要的条件更强。

因为实在没什么新思路，我就想着用文献里的标准正交基例子试试，这样还能省掉证明完备性的功夫。但意外的是，文献里几乎找不到这些标准基的$L^{1$-范数预计算结果，而且说实话，我完全不知道怎么计算比如拉盖尔多项式的$L}1$-范数。我算过$(0,2\pi)$上的傅里叶基，这个倒是简单，但它不行——傅里叶基的$L^1(0,2\pi)$范数其实是和$n$无关的常数，求和肯定发散。

如果能找到一个在其他定义域上、对$a=0$成立的例子，我觉得也能凑合用，应该可以通过巧妙的变换把它转化成$(0,\infty)$上对某个$a$成立的情况。比如我想到这么个变换：$L^{2(0,1)$的任意正交基，都可以通过$f_n(1-e}{-t}) e^{{-t/2}$转化成$L}2(0,\infty)$的正交基，而且当$a>1/2$时，变换后函数的$e^{{-at}$带权$L}1(0,\infty)$范数可以用原函数的$L^1(0,1)$范数来控制。我觉得类似的变换应该对其他定义域也适用。

所以有没有人能给点靠谱的思路或者直觉？不管是怎么构造这样的序列，还是能给出让人信服的理由说明这根本做不到。说实话我现在两边都没把握，既找不到它不成立的好理由，也没什么依据能相信它成立（可能只是一厢情愿，但这不算数）。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dasi