实分析习题中柯西型函数极限存在性的证明问询（含已解部分）

问题背景 #

我正在解决Manfred Stoll所著《Introduction to Real Analysis》中4.1节的第19题，题目如下：

设函数 $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 满足柯西函数方程：$f(x+y)=f(x)+f(y) \ \forall x, y \in \mathbb{R}$。若 $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x)$ 存在，证明：
(a) $\lim\limits_{x \rightarrow 0} f(x) = 0$；
(b) $\lim\limits_{x \rightarrow p} f(x)$ 对任意 $p \in \mathbb{R}$ 都存在。

已解决部分（(a)的证明） #

我已经完成了(a)的证明，推导过程如下：
$$
\begin{align}
f(2x) & = f(x)+f(x) \
\lim_{x \rightarrow 0} f(2x) & = \lim_{x \rightarrow 0} f(x) + \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \
\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = \lim_{2x \rightarrow 0} f(2x) & = \lim_{x \rightarrow 0} f(x) + \lim_{x \rightarrow 0} f(x) \
\therefore \lim_{x \rightarrow 0} f(x) & = 0,
\end{align}
$$

但我卡在了(b)的证明上，有没有相关的提示可以帮我推进？

专家解答（针对(b)的提示） #

你好！首先要夸一下你(a)的解法非常漂亮，完美利用了柯西函数方程的齐次性和极限的变量替换，逻辑完全通顺👍

关于(b)的证明，核心思路是把$x\rightarrow p$的极限转化为你已经解决的$x\rightarrow 0$的极限情况，具体可以按照以下方向思考：

• 变量替换转化极限场景：
  令 $h = x - p$，那么当 $x \rightarrow p$ 时，$h \rightarrow 0$。根据柯西函数方程，我们可以把 $f(x)$ 改写为：
  $$f(x) = f(p + h) = f(p) + f(h)$$

• 拆分极限并利用已知结论：
  现在求 $\lim\limits_{x\rightarrow p}f(x)$ 就等价于求 $\lim\limits_{h\rightarrow 0}[f(p) + f(h)]$。这里 $f(p)$ 是一个常数（因为 $p$ 是固定的实数），根据极限的四则运算法则，常数的极限就是它本身，再结合你已经证明的(a)的结论 $\lim\limits_{h\rightarrow 0}f(h)=0$，就能得到：
  $$\lim\limits_{h\rightarrow 0}[f(p) + f(h)] = f(p) + \lim\limits_{h\rightarrow 0}f(h) = f(p) + 0 = f(p)$$

• 验证极限存在性：
  既然我们能明确求出这个极限的值为 $f(p)$，自然就证明了 $\lim\limits_{x\rightarrow p}f(x)$ 对任意 $p\in\mathbb{R}$ 都存在。

如果需要更严谨的$\epsilon-\delta$语言推导，也可以基于这个思路展开：对于任意$\epsilon>0$，因为$\lim\limits_{h\rightarrow 0}f(h)=0$，所以存在$\delta>0$，当$|h|<\delta$时，$|f(h)|<\epsilon$。而$|x-p|=|h|<\delta$时，$|f(x)-f(p)|=|f(h)|<\epsilon$，完全符合极限的定义。

这样应该就能顺利完成(b)的证明啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者임병도