Hausdorff度量拓扑下有限紧子集族为Fσ集的证明求助

最近在啃Alexander S. Kechris的《Classical Descriptive Set Theory》，碰到个问题卡壳了，想请大家帮忙看看：

设$X$是可度量化空间，$K(X)$是$X$的所有紧子集构成的空间，赋予Hausdorff度量$d_H$诱导的拓扑。证明有限紧子集族$K_f(X)={A\in K(X): A,\text{是有限集}}$可表示为$\underset{n\in\mathbb{N}}{\cup}F_n$，其中每个$F_n$都是闭集。

我的思路是这样的：

• 首先定义$\mathcal{A}_n={A\in K(X): |A|\leq n}$，如果能证明每个$\mathcal{A}n$都是闭集，那$K_f(X)=\bigcup{n\in\mathbb{N}}\mathcal{A}_n$就是Fσ集了，这一步应该没问题吧？
• 接下来想通过序列收敛来证$\mathcal{A}n$闭：固定$n\in\mathbb{N}$，取$\mathcal{A}n$中的序列$(A_i)$，假设它在Hausdorff度量下收敛到$A\in K(X)$，要证$A\in\mathcal{A}n$。我知道Hausdorff收敛等价于$d_H(A,A_i)\to0$，也就是对任意$\epsilon>0$，存在$N\in\mathbb{N}$，当$i\geq N$时，$\max{x\in A}d(x,A_i)<\epsilon$且$\max{y\in A_i}d(y,A)<\epsilon$，这里$d(x,A_i)=\inf{y\in A_i}d(x,y)$、$d(y,A)=\inf_{x\in A}d(y,x)$这些定义我都清楚。
• 然后我尝试反证，假设$|A|\geq n+1$，结果到这儿就完全卡壳了，不知道怎么往下推导矛盾。

有没有大佬能给我点拨一下，这个反证的步骤该怎么继续？或者有没有其他方法能证明$\mathcal{A}_n$是闭集？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Dick Grayson