关于证明$K[x_1,x_2,x_3,x_4]/\langle x_1x_4 - x_2x_3 \rangle$是维数为3的整环的技术问询

嘿，我完全理解你对着定义却不知道怎么落地的困惑！咱们把这个问题拆成证明整环和计算维数两个部分，给你一些具体的提示：

第一部分：证明$R$是整环 #

整环的核心定义是没有非平凡零因子的交换幺环，对应到商环$R = K[x_1,x_2,x_3,x_4]/I$（其中$I = \langle x_1x_4 - x_2x_3 \rangle$），等价于证明$I$是素理想（即若$f,g \in K[x_1,x_2,x_3,x_4]$且$fg \in I$，则$f \in I$或$g \in I$）。

这里有个直观且严谨的思路：

• 注意到$x_1x_4 - x_2x_3$是2×2矩阵$\begin{pmatrix}x_1 & x_2 \ x_3 & x_4\end{pmatrix}$的行列式，它是一个不可约多项式（你可以尝试反证：假设它能分解成两个非零次多项式，会导出矛盾）。
• 在多项式环$K[x_1,...,x_n]$中，不可约多项式生成的理想一定是素理想。这就直接推出$I$是素理想，因此$R$是整环。

如果想换个角度验证，可以用环嵌入的方法：构造局部化环$K[x_1,x_2,x_3,x_1^{-1}]$，令$x_4 = \frac{x_2x_3}{x_1}$，此时$I$在这个局部化环中变为0，所以$R$可以嵌入到这个局部化环里——而局部化环是整环，因此$R$也必然是整环。

第二部分：证明$R$的维数是3 #

你给出的是仿射簇的维数定义，而$R$对应的仿射簇是$X = \text{Spec}(R)$，簇的维数等于环$R$的Krull维数，二者是一一对应的。这里有两个路径可以走：

路径1：用多项式环的维数公式（更快捷） #

对于多项式环$K[x_1,...,x_n]$，它的维数是$n$（这里$n=4$）。对于素理想$I$，商环$K[x_1,...,x_n]/I$的维数等于$\dim K[x_1,...,x_n] - \text{height}(I)$，其中$\text{height}(I)$是$I$的高度（即包含$I$的最短素理想链的长度）。

• 我们已经知道$I = \langle f \rangle$是由不可约多项式生成的素理想，在多项式环中，这样的理想高度为1（它不是零理想，且没有非零素理想包含于它）。
• 所以$\dim R = 4 - 1 = 3$，直接得到结果。

路径2：直接应用你给出的簇维数定义 #

簇$X$中的闭不可约子集对应$R$中的素理想，且子集的包含关系恰好反转了素理想的包含关系：如果$Y \subsetneq Z$是$X$中的闭不可约子集，那么对应的素理想$\mathfrak{p}_Z \subsetneq \mathfrak{p}_Y$。

要找最长的子集链$\emptyset \subset Y_0 \subsetneq Y_1 \subsetneq Y_2 \subsetneq Y_3 \subset X$，对应到$R$中的素理想链就是：
$$\mathfrak{p}_0 \subsetneq \mathfrak{p}_1 \subsetneq \mathfrak{p}_2 \subsetneq \mathfrak{p}_3$$
其中$\mathfrak{p}_0$是$R$的极小素理想，$\mathfrak{p}_3$是极大理想。

你可以构造具体的链：

• 在$K[x_1,x_2,x_3,x_4]$中，取包含$I$的素理想链：
  $$I \subsetneq \langle I, x_1 \rangle \subsetneq \langle I, x_1, x_2 \rangle \subsetneq \langle I, x_1, x_2, x_3 \rangle$$
• 把这些理想模掉$I$，就得到$R$中的素理想链，长度为3（从$Y_0$到$Y_3$共4个集合，链长是3）。同时你可以证明不存在更长的链——因为原多项式环的维数是4，$I$的高度是1，所以商环中最长的素理想链长度只能是3。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者3nondatur