关于12位顾客依次随机取外套的全匹配概率及正确取到自身外套人数期望的求解问询

嘿，我来帮你理清这个问题！其实不管顾客是依次随机取外套还是同时取，这两种场景本质上是等价的——因为所有可能的取外套顺序（也就是外套的全排列）都是等概率的，不管是逐个抽取还是一次性分配，最终每个排列出现的概率都是1/12!，这是解开你困惑的关键哦~

1. 所有人都拿到自己外套的概率 #

这个问题其实很直接：

• 所有人都拿到对应外套的情况只有1种（就是完全匹配的那个完美排列），而总共有12!种可能的取法（12件外套分给12个顾客的全排列数）。
• 所以概率就是 1/12!，换算成数值大概是1/479001600，是非常小的概率。
• 你之前提到的错排（derangement）公式!n/n!是所有人都拿错外套的概率，全对和全错并不是互补事件，中间还有部分人拿对的情况，所以不能用1 - !12/12!来计算全对的概率哦。

2. 拿到自己外套的人数的期望 #

这里你用指示变量的思路完全正确，而且不管取外套的顺序是依次还是同时，结果都是一样的：

• 定义指示变量$X_i$（$i=1,...,12$）：$X_i=1$表示第i个顾客拿到自己的外套，否则为0。
• 关键结论：不管是第几个取外套，每个$X_i$的无条件概率$P(X_i=1)$都是$1/12$。你可以用全概率公式验证一下，比如第二个顾客的情况：

  $P(X₂=1) = P(X₂=1|X₁=1)P(X₁=1) + P(X₂=1|X₁≠1)P(X₁≠1) = (1/11)(1/12) + (1/11)(11/12) = 1/12$

• 按照期望的线性性，总期望就是所有$X_i$的期望之和：
  $$\mathbb{E}[X_1 + X_2 + ... + X_{12}] = \sum_{i=1}^{12} \mathbb{E}[X_i] = 12*(1/12) = 1$$
• 这个结果其实对任意$n$个顾客都成立，不管$n$是多少，拿到自己外套的人数的期望都是1，是不是有点反直觉但又很巧妙？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lea