仿射变换在何种情况下保持n维超体积的比例？

嘿，这个问题问得挺有深度的！先从咱们熟悉的平面场景入手，再一步步推广到n维空间，规律其实很清晰：

先看平面（2维）的情况 #

• 平面上的仿射变换一定会保持面积的比例：假设图形F的面积是图形G的k倍，经过仿射变换T之后，T(F)的面积也必然是T(G)的k倍。
• 但长度比例是个例外：只有当两条线段共线时，仿射变换才会保留它们的长度比例；如果线段不共线，这个比例就可能被改变。

推广到n维空间的通用结论 #

这个规律完全可以延伸到任意n维空间里，核心原则就是维度与子空间匹配：

只要两个图形处于同一个n维仿射子空间中，仿射变换就会保持它们n维超体积的比例。对应到不同维度的具体场景就是：

• 1维场景：两条线段共线（同属一个1维仿射子空间），它们的长度比例会被仿射变换保留；
• 2维场景：两个图形共面（同属一个2维仿射子空间），它们的面积比例会被保留；
• 3维场景：两个立体处于同一个3维仿射子空间（也就是同一个三维“平面”），它们的体积比例会被保留；
• 以此类推，n维场景下，只要两个n维图形同属一个n维仿射子空间，它们的n维超体积比例就会被仿射变换完美维持。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames